Producto Moyal en Mecánica Cuántica No Conmutativa

I) El producto asociativo no conmutativo Moyal/Groenewold/star$f\star g$se explica en Wikipedia . El correspondiente$\star$-conmutador se define como

$$\tag{1} [f\stackrel{\star}{,} g]~:=~f\star g-g\star f.$$

En particular, la identidad de Jacobi para el$\star$-conmutador es una consecuencia de la asociatividad del$\star$-producto.

II) Por un lado, está el álgebra de funciones, digamos, el álgebra$\mathbb{C}[[x]]$de series de potencias en indeterminadas$x_a$. Lo equipamos con una unidad$1$y el$\star$-producto$^1$de modo que

$$\tag{2} [x_a\stackrel{\star}{,}x_b]~=~i\theta_{ab}.$$

III) Por otro lado, está el álgebra de Heisenberg$({\cal A}, +, \circ)$generado por

$$\tag{3} [X_a\stackrel{\circ}{,}X_b]~=~i\theta_{ab}{\bf 1}.$$

Aquí los elementos del álgebra de Heisenberg son operadores (lineales) que actúan sobre funciones; el producto algebraico$\circ$es composición; la unidad de álgebra${\bf 1}$es el operador de identidad; y

$$\tag{4} [A \stackrel{\circ}{,}B]~:=~A \circ B - B \circ A$$

es el conmutador de composición habitual de dos operadores$A$y$B$.

IV) Existe un único isomorfismo algebraico

$$\tag{5} (\mathbb{C}[[x_a]],+, \star) ~\stackrel{\Phi}{\longrightarrow}~({\cal A}, +, \circ)$$

generado por

$$\tag{6} \Phi(x_a)~:=~X_a.$$

De ello se deduce que el isomorfismo del álgebra$\Phi$asigna el (2) en (3).

V) El álgebra de Heisenberg actúa sobre el álgebra$\mathbb{C}[[x]]$, es decir, un operador$A$actúa sobre una función$\psi$y producir una nueva función$A(\psi)$. Concretamente, para un elemento$A\in {\cal A}$definir

$$\tag{7} A(\psi)~:=~\Phi^{-1}(A) \star \psi.$$

Equivalentemente,

$$\tag{8} \Phi(f) (g)~:=~f \star g.$$

No es difícil ver que la definición (7) es consistente con esa$\Phi$es un isomorfismo de álgebra.

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$^1$También existe la multiplicación puntual conmutativa y asociativa estándar$\cdot$de funciones, que casi no juega ningún papel aquí.