¿Es la constante de Planck realmente una constante?

Question

¿Es la constante de Planck realmente una constante?

Física
operadores
conmutador
mecánica cuántica
constantes físicas
deformación-cuantización

Salida

Estoy revisando el teorema de Groenewold y en su libro: Sobre los principios de la mecánica cuántica elemental, página 8, eq. 1.30:

$\begin{matrix} (1.30) & [pag, q] = 1 (es decir pag q - q pag = \frac{ℏ}{i}), \end{matrix}$ $[\mathbf{p}, \mathbf{q}]=1\left(\text { i.e. } \mathbf{p q}-\mathbf{q} \mathbf{p}=\frac{\hbar}{i}\right),\tag{1.30}$

y escribió:

Las cantidades clásicas $a(p,q)$ pueden considerarse como aproximaciones a los operadores cuánticos $\mathbf{a}$ para $\lim \hbar \rightarrow 0$ .

¿Cómo supuso que $\frac{\hbar}{i}=1$ ? Y si $\hbar$ (como lo hemos aprendido) es una constante y es precisamente igual a $6.5821 × 10^{-16} eV s$ , ¿cómo podemos decir que va a cero?

Enrique

Solo por el título, la constante de Planck se ha definido recientemente para ser exactamente

h = 6.62607015 \times 10^{- 34}

$h= 6.62607015×10^{-34}$ Js, por lo que ahora es una constante incluso si hipotéticamente podría haber variado antes. Afortunadamente

ℏ

$\hbar$ restos

\frac{h}{2 π}

$\frac{h}{2\pi}$

usuario253751

Podemos imaginar (y calcular) universos alternativos con valores decrecientes de hbar.

Respuestas (3)

¿Es la constante de Planck realmente una constante?

Solo por el título, la constante de Planck se ha definido recientemente para ser exactamente $h= 6.62607015×10^{-34}$ Js, por lo que ahora es una constante incluso si hipotéticamente podría haber variado antes. Afortunadamente $\hbar$ restos $\frac{h}{2\pi}$
Podemos imaginar (y calcular) universos alternativos con valores decrecientes de hbar.

Teofía · Answer 1

Teofía

¿Cómo supuso que $\frac{\hbar}{i}=1$ ?

no lo hizo Compruebe la definición que da del conmutador en la ecuación (1.02).

Y si $\hbar$ (como lo hemos aprendido) es una constante ¿cómo podemos decir que tiende a cero?

Creo que el punto aquí es decir: si $\hbar \rightarrow 0$ recuperamos la mecánica clásica (CS), por lo tanto si en la naturaleza $\hbar = 0$ no tendríamos QM solo CS. Y la mecánica clásica es un límite de QM y esto es fundamental ya que vemos que la mecánica clásica funciona. Además, nos dice que desde $\hbar \neq 0$ pero es pequeño, vemos QM solo a pequeña escala.

Mitrídates el Grande

Tu respuesta es muy vaga. Por ejemplo, cómo juzgas si

ℏ

$\hbar$ es pequeño o grande? Esta constante de Planck tiene unidad y solo podemos hablar de pequeños o grandes para números adimensionales. En otras palabras: ¿Grande o pequeño con respecto a qué?

Teofía

Podemos hablar de pequeños y grandes números dimensionales sin ningún problema. Es pequeño en las "unidades de la física clásica". Es pequeño con respecto a la acción en una trayectoria clásica.

Mitrídates el Grande

No, que yo sepa, no podemos hablar de valores grandes o pequeños de cantidades dimensionales. Esa es la razón por la que se desarrollan los números adimensionales, para permitirnos comparar diferentes fenómenos físicos. Dicho

ℏ

$\hbar$ es pequeño o grande simplemente no tiene sentido porque todavía no puedes definirlo, compararlo con respecto a qué. Por ejemplo, ¿qué significa aquí incluso "acción en la trayectoria clásica"? Para mí, es solo una declaración muy vaga. Le agradecería que lo describa con una definición matemática precisa.

Molécula de agua

Una forma semiclásica de verlo es que

ℏ

$\hbar$ mucho más pequeño que el momento angular con el que nos encontramos en el mundo macroscópico. Una rueda de bicicleta que gira tiene un momento angular de algo así como

L \sim 10^{34} ℏ

$L \sim 10^{34} \hbar$

Teofía

¿Estás de acuerdo en que si

t_{0} = 1 s

$t_0 = 1s$ y

t_{1} = 1000 s

$t_1=1000 s$ entonces

t_{1} >> t_{0}

$t_1 >> t_0$ ?

Mitrídates el Grande

@ludmicseveric Puede deducir que 1000 s es mayor que 1 s porque implícitamente puede dividir 1 s / 1 s y obtener 1 sin dimensión y dividir 1000 s / 1 s y obtener 1000 sin dimensión nuevamente y porque 1000> 1 entonces

t_{0} < t_{1}

$t_0 < t_1$ . En este ejemplo es bastante rápido y trivial, pero no es tan trivial para

ℏ

$\hbar$ . Creo que WaterMolecule mencionó un buen punto aquí.

marca allen

De manera más general, podemos definir las unidades de Planck para longitud, masa, tiempo, etc. en términos de ℏ y otras constantes universales. Estos forman un conjunto natural de unidades que no tienen ninguna base antropocéntrica arbitraria. Cuando comparamos, digamos, metros y segundos con la longitud de Planck y el tiempo de Planck, podemos decir que ℏ es realmente pequeño, en el sentido de que la escala en la que la mecánica cuántica es visible es mucho más pequeña que la escala de nuestra existencia mundana cotidiana.

Teofía

@AloneProgrammer está bien, entonces podemos decir que un número dimensional es grande o pequeño en comparación con algún otro número, bien. En este punto

ℏ

$\hbar$ tiene la dimensión de una acción, por lo tanto, comparémosla con alguna acción clásica. Tome una partícula puntual libre que va de a en

t_{a} = 0

$t_a=0$ s a b en

t_{b} = 1

$t_b=1$ s con masa

m = 1

$m=1$ kg y velocidad constante

v = 1 \frac{m}{s}

$v=1 \frac{m}{s}$ . Ok, el valor de esta acción clásica súper simple es S = 1/2 J s. Puedes hacer este ejercicio con otras acciones y verás que al tratar con cosas clásicas el resultado será mucho mayor que

ℏ

$\hbar$ .

Teofía

@AloneProgrammer de todos modos, y esta es solo mi opinión personal y tal vez una sugerencia, podría abordar una discusión de una manera diferente, más abierta y menos "agresiva"

Teofía

En el ejemplo, usamos las unidades de "nuestra experiencia" y las escribimos

ℏ

$\hbar$ es pequeño. De lo contrario, probablemente habríamos descubierto la mecánica cuántica mucho antes.

Zorawar

@AloneProgrammer Creo que ha confundido la idea de que los números de diferentes dimensiones no se pueden comparar, con TODOS los números que tienen dimensiones no se pueden comparar. Esto es incorrecto. El problema no es la dimensionalidad en sí, el problema es la dimensionalidad diferente . Ciertamente es cierto que (sin alguna constante física fundamental que los vincule)

1 m

$1m$ y

1 s

$1s$ no son a priori comparables, pero

h

$h$ se pueden comparar con otras cantidades que tienen unidades de acción. En la respuesta dada arriba,

h

$h$ es pequeño en comparación con la acción de los objetos clásicos.

Mitrídates el Grande

@Zorawar Desafortunadamente, debería decir que no. Los números dimensionales no se pueden comparar entre sí o al menos para la máxima claridad se debe evitar tanto como sea posible. Incluso para números que tienen una definición física idéntica, se debe evitar la comparación dimensional. Por ejemplo, ¿1 hora es menor o mayor que 0,5 días? Ambos representan el tiempo. Para compararlos, puede representarlos en términos de hora y decir que 0,5 días es mayor que 1 hora. Parece aburrido porque la conversión aquí es bastante rápida y trivial. Pero como dije antes, no es trivial en absoluto para

ℏ

$\hbar$ .

Zorawar

@AloneProgrammer La dificultad y la imposibilidad son dos cosas diferentes. La evitación solo debe recomendarse a las personas que encuentran tales cosas difíciles, ni más ni menos. Para todos los demás no hay dificultad. La comparación dimensional no es solo una rutina, sino que es fundamental para la física teórica. Tomemos, por ejemplo, una cantidad de interés teórico: la relación entre la viscosidad de cizallamiento y la densidad de entropía; esta es una cantidad dimensional (Ks) que se compara con varios valores en este artículo: arxiv.org/pdf/1108.0677.pdf (págs. 4 y siguientes). Se puede buscar en la literatura muchos más ejemplos de este tipo.

Zorawar

@AloneProgrammer Con respecto a

h

$h$ siendo "no trivial", es simplemente una cantidad con unidades

J s

$Js$ . No puedo entender cómo es más "complejo" que cualquier otra cantidad dimensional con respecto a la comparación. Sin embargo, este no es el mejor lugar para discutir este tema. Recomendaría hacer una pregunta por separado en este sentido si todavía cree que su posición es defendible. Mientras tanto, quizás estos dos enlaces sean instructivos: web.mit.edu/2.25/www/pdf/DA_unified.pdf (especialmente pp. 9-11) y damtp.cam.ac.uk/user/tong/relativity /tres.pdf .

qmecanico · Answer 2

Groenewold está trabajando en el marco de la cuantificación de la deformación , donde la constante de Planck (reducida) $\hbar$ se trata como un parámetro formal que no tiene que ser el valor físico real $\sim 10^{-34}{\rm Js}$ .
ecuación (1.30) se explica por una normalización no convencional del conmutador
$\begin{matrix} (1.02) & [a, b] := \frac{i}{ℏ} (a b - b a) . \end{matrix}$ $[{\bf a},{\bf b}]~:=~\frac{i}{\hbar}({\bf ab}-{\bf ba}). \tag{1.02}$

charles hudgins · Answer 3

charles hudgins

Para una perspectiva ligeramente diferente, en unidades naturales uno puede establecer $\hbar = 1$ . Es decir, en unidades naturales acordamos medir la acción en unidades de $\hbar$ (en lugar de, digamos, $\rm J\cdot s$ ). Visto así, no tiene más sentido enviar $\hbar$ a $0$ que enviar $1 \, \rm J \cdot s$ a $0$ . Dicho de otra manera, enviar $\hbar$ a $0$ es como enviar $1 \rm m$ a $0$ al escribirlo como $1 \times 10^{-9} \,\rm Gm$ . Tal cambio en realidad no puede afectar la física del sistema.

Recuperar la noción de envío $\hbar$ a $0$ en unidades naturales, consideramos las escalas naturales del sistema bajo consideración. Por ejemplo, el límite clásico del oscilador armónico cuántico se alcanza cuando $E \gg \hbar \omega_0$ , es decir, cuando la energía del sistema es mucho mayor que la separación entre valores propios de energía. Entonces, aunque no tiene sentido enviar $\hbar$ a $0$ desde la perspectiva de las unidades naturales, tiene sentido enviar $\frac{\hbar \omega_0}{E}$ a $0$ .

Como aludió Qmechanic, también existe la perspectiva de cuantificación de la deformación, donde los efectos cuánticos se tratan de manera perturbadora en un parámetro sugestivamente (pero quizás engañoso para los no iniciados) escrito como $\hbar$ . Ser más preciso, $\hbar$ juega el papel generalmente denotado por $x$ en la expansión de Taylor del conmutador mecánico cuántico en términos del soporte de Poisson asociado con el sistema clásico. En este caso, cuando $\hbar$ va a $0$ , realmente recuperamos la situación clásica, esencialmente por construcción. Debo decir que no tengo mucho conocimiento sobre la cuantización de la deformación, así que espero que alguien más pueda ampliar lo que he dicho aquí y corregir cualquier error que pueda haber cometido.

Cham

No estoy de acuerdo con el primer párrafo. Enviando

ℏ

$\hbar$ a 0 es lo mismo que definir un universo sin QM. Escribiendo

ℏ = 1

$\hbar = 1$ no tiene sentido, sin las unidades (no es un número puro). Los físicos son muy descuidados con la notación. deberían escribir

ℏ = 1 u

$\hbar = 1 \, \mathrm{u}$ en cambio, donde

u

$\mathrm{u}$ es solo una unidad de acción especial, tan arbitraria como cualquier otra (como

J \cdot s

$\mathrm{J \cdot s}$ ). En ese sistema de unidades, el valor de

ℏ

$\hbar$ es solo 1. Pero aún podríamos decidir definir

ℏ

$\hbar$ como una "variable" y hacer que vaya a 0, incluso en el mismo sistema de unidades.

Cham

En otras palabras: tomas un objeto arbitrario en tu escritorio, de masa

M = 3, 218 k g

$M = 3,218 \, \mathrm{kg}$ . Luego lo defines como una unidad, entonces

M = 1 M

$M = 1 \, \mathrm{M}$ , que es banal. ¡Obviamente, una vez que tomaste esa decisión, te quedas con ella y no puedes aplicarle ningún tipo de límite! Haciendo

M \to 0

$M \rightarrow 0$ es equivalente a cambiar la elección del estándar (o la elección del objeto en su escritorio).

charles hudgins

Estoy bastante de acuerdo con tu comentario. Una suposición que se está colando aquí es que realmente hay una cantidad significativa de acción digna de ese nombre.

ℏ

$\hbar$ . Pero una vez que estamos convencidos de ese hecho y aceptamos usarlo para medir la acción, ya no tiene sentido hablar de enviarlo a

0

$0$ más de lo que tiene sentido hablar de enviar la masa del objeto de su escritorio a

0

$0$ . Es un parámetro físico del universo bajo examen. Si consideramos que el objeto en su escritorio interactúa con otra masa, digamos

m

$m$ , entonces podemos hablar de lo que sucede cuando

M / m \to 0

$M/m \to 0$

charles hudgins

Creo que en realidad estamos de acuerdo. Porque

ℏ

$\hbar$ es dimensional (mide acción) y no un número puro (como

π

$\pi$ ) no podemos hablar de enviarlo a

0

$0$ . Solo podemos hablar de que otras medidas de acción son pequeñas o grandes en comparación con ella. Creo que de lo que estás hablando, enviando

ℏ

$\hbar$ a

0

$0$ obtener un universo clásico puede tener sentido, pero debemos tener cuidado con el significado. Creo que lo que decimos cuando enviamos

ℏ

$\hbar$ a

0

$0$ es que asumimos que vivimos en un universo donde todas las acciones son tan grandes como para hacer

1 ℏ

$1 \hbar$ una cantidad de acción físicamente despreciable.

charles hudgins

El punto sigue siendo que sólo podemos hablar de

ℏ

$\hbar$ en comparación con otras cantidades físicas ya que es solo una unidad. Es posible que pueda decir un poco más que esto. Es físicamente significativo que

ℏ

$\hbar$ no es

0

$0$ . Esta es la afirmación de que la mecánica cuántica no es clásica (dice que el conmutador de

x

$x$ y

p

$p$ no desaparece). Esto es análogo al hecho de que

c

$c$ es distinto de cero, lo que dice que nuestro universo tiene simetría lorentziana, no simetría galileana. Pero su valor específico no es significativo a menos que se compare con otras cantidades.

Cham

Estoy de acuerdo. Sin embargo, muchos físicos (especialmente los teóricos) están escribiendo tonterías como

ℏ = c = 1

$\hbar = c = 1$ por ejemplo.

ℏ

$\hbar$ y

c

$c$ no tienen las mismas dimensiones. Incluso si los separamos:

ℏ = 1

$\hbar = 1$ y

c = 1

$c = 1$ , es una tontería! deberían escribir

ℏ = 1 ℏ

$\hbar = 1 \, \mathrm{\hbar}$ y

c = 1 c

$c = 1 \, \mathrm{c}$ , que es trivial (y tiene sentido). Una vez que adoptamos esa convención, estamos atascados con esos valores y no podemos variar las "constantes". Las constantes físicas son como vectores 1D: un componente (valor) y una base (unidad). Podemos arreglar la base y variar el componente. Para mí, esto es lo que significa el límite.

charles hudgins

Se me advierte que evite una discusión prolongada, pero este es un punto que vale la pena seguir. Puede haber algo de sentido en escribir

ℏ = c = 1

$\hbar = c = 1$ si crees que no hay realmente una distinción física entre las cantidades que representan. En el caso de GR, todo está escrito en última instancia en términos de

m

$m$ (o alguna unidad de distancia) porque la perspectiva GR es que todo (en el nivel clásico) realmente es geometría. El tiempo no es un tipo de cantidad diferente de la distancia. Ambos describen la geometría del sistema una vez que toma una perspectiva 4d.

Cham

Estoy de acuerdo con tu comentario sobre GR y la filosofía de "todo es geometría", pero esto abre toda una bolsa de "trucos" (¡no quiero comenzar una discusión extensa!). En mi opinión, toda cantidad física debería redefinirse como "objetos geométricos" usando las constantes

ℏ

$\hbar$ ,

c

$c$ ,

e

$e$ , así (como algunos ejemplos): tiempo

t \equiv c \bar{t} \sim L^{1}

$t \equiv c \, \bar{t} \sim \mathrm{L}^1$ (dónde

\bar{t}

$\bar{t}$ es el tiempo habitual en segundos),

m \equiv \bar{m} c / ℏ \sim L^{- 1}

$m \equiv \bar{m} c / \hbar \sim \mathrm{L}^{-1}$ ,

E \equiv \bar{E} / ℏ c \sim L^{- 1}

$E \equiv \bar{E}/ \hbar c \sim \mathrm{L}^{-1}$ ,

q \equiv \bar{q} / e \sim L^{0}

$q \equiv \bar{q}/e \sim \mathrm{L}^0$ , etc. Todas las ecuaciones se vuelven mucho más simples.

Cham

... pero entonces no podemos aplicar los límites

ℏ \to 0

$\hbar \rightarrow 0$ y

c \to \infty

$c \rightarrow \infty$ más, en ese sistema anterior de redefiniciones. Necesitamos escalar todo de nuevo a cantidades normales antes de aplicar cualquier límite. Podríamos desarrollar más esta idea, pero me detendré ahí.

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Enrique

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