¿Cuál es el significado físico de la conmutación de dos operadores?

Primero reformulemos el enunciado matemático de que dos operadores$\hat A$y$\hat B$viajar entre sí. Esto significa que

Si recuerda que los operadores actúan sobre los estados mecánicos cuánticos y le dan un nuevo estado a cambio, entonces esto significa que con$\hat A$y$\hat B$desplazamiento, el estado que obtienes al dejar primero$\hat A$y entonces$\hat B$actuar en algún estado inicial es lo mismo que si dejaras primero$\hat B$y entonces$\hat A$actuar en ese estado:

Esta no es una declaración trivial. Muchas operaciones, como las rotaciones alrededor de diferentes ejes, no conmutan y, por lo tanto, el resultado final depende de cómo haya ordenado las operaciones.

Entonces, ¿cuáles son las implicaciones importantes? Recuerde que cuando realiza una medición mecánica cuántica, siempre medirá un valor propio de su operador y, después de la medición, su estado quedará en el estado propio correspondiente. Los estados propios para el operador son precisamente aquellos estados para los que no existe incertidumbre en la medida: Siempre medirás el valor propio, con probabilidad$1$. Un ejemplo son los estados propios de energía. Si estás en un estado$|n\rangle$con energía propia$E_n$, tú lo sabes$H|n\rangle = E_n |n \rangle$y siempre medirás esta energía$E_n$.

Ahora, ¿qué pasa si queremos medir dos observables diferentes,$\hat A$y$\hat B$? Si primero medimos$\hat A$, sabemos que el sistema queda en un estado propio de$\hat A$. Esto podría alterar el resultado de la medición de$\hat B$, por lo que, en general, el orden de las medidas es importante. ¡No es así con las variables de conmutación! En todos los libros de texto se muestra que si$\hat A$y$\hat B$viaje diario al trabajo, entonces puede crear un conjunto de estados básicos $| a_n b_n\rangle$que son estados propios de ambos $\hat A$y$\hat B$. Si ese es el caso, entonces cualquier estado puede escribirse como una combinación lineal de la forma

EDITAR Ahora déjame expandirme un poco más. Hasta ahora hemos hablado de algunos operadores$\hat A$y$\hat B$. Ahora preguntamos: ¿Qué significa cuando algún observable$\hat A$conmuta con el hamiltoniano $H$? Primero, obtenemos todos los resultados de arriba: hay una base propia simultánea de los estados propios de energía y los estados propios de$\hat A$. Esto puede producir una tremenda simplificación de la tarea de diagonalizar$H$. Por ejemplo, el hamiltoniano del átomo de hidrógeno conmuta con$\hat L$, el operador de momento angular, y con$\hat L_z$, su$z$-componente. Esto le dice que puede clasificar los estados propios por un número cuántico angular y magnético$l$y$m$, y puedes diagonalizar$H$para cada conjunto de$l$y$m$independientemente. Hay más ejemplos de esto.

Otra consecuencia es la de la dependencia del tiempo. Si eres observable$\hat A$no tiene una dependencia temporal explícita introducida en su definición, entonces si$\hat A$viaja con$\hat H$, inmediatamente sabes que$\hat A$es una constante de movimiento. Esto se debe al Teorema de Ehrenfest.

La respuesta a esta pregunta debe partir de por qué queremos que los observables físicos estén representados por operadores lineales.

La física teórica se trata de construir un modelo matemático que esperamos describa los fenómenos para los que se está modelando y, por lo tanto, ayude a predecir cosas. En la física clásica este modelo matemático se basa simplemente en los números reales (al menos localmente) debido al buen comportamiento de las cosas. En mecánica cuántica no es el caso. Los experimentos comenzaron a dar valores tanto discretos como continuos (como la energía de los electrones, etc.). Por lo tanto, existe la necesidad de alguna clase de objetos matemáticos que den la misma importancia a los casos continuos y discretos.

Sabemos que los operadores lineales tienen la propiedad de poseer espectros tanto discretos como continuos que pueden actuar como la clase requerida de objetos matemáticos. Por lo tanto, comenzamos identificando observables físicos con operadores lineales apropiados.

Postulado 1. Para cada variable dinámica existe un operador lineal tal que los valores posibles son los valores propios del operador.

Necesitamos un lugar donde suceda toda la física y donde estos operadores actúen para darnos los resultados requeridos. Entonces construimos un espacio de Hilbert que consta de estados del sistema que estamos observando.

En la mecánica cuántica, el proceso de medición juega un papel importante. Alterará el estado del sistema que se supone debe medir. Si vamos a realizar dos experimentos uno tras otro, existe la posibilidad de que se cambie parte de la información.

El conmutador de dos observables.$A$y$B$con operadores$\hat{A}$y$\hat{B}$se define como,

Un conmutador es una construcción matemática que nos dice si dos operadores conmutan o no. Suponer$A$corresponde a un observable dinámico$A$y$B$corresponde al observable dinámico$B$. Entonces el producto$AB$corresponde a medir el observable$A$después de medir$B$. Si el proceso de medición va a alterar (perturbar) el resultado del próximo experimento de tal manera que, midiendo$A$después de medir$B$da diferentes valores como medida$B$después de medir$A$entonces decimos que no viajan. Por lo tanto, significa que el conmutador no es igual a cero.

De lo contrario es cero. Lo que significa que los dos observables se pueden medir simultáneamente. Entonces, un conmutador nos dice si podemos medir dos observables físicos al mismo tiempo (que se llaman observables compatibles) o no.

Si conocemos el valor del conmutador, nos dice cómo las medidas van a alterar las cosas. Da más información como la incertidumbre.

Físicamente significa que no importa en qué orden temporal mida los dos observables que se desplazan.

Significa que puede (en principio) medir ambas cantidades con precisión arbitraria al mismo tiempo. Si no conmutaran, esto sería imposible por el principio de incertidumbre.

Puede considerar la conmutatividad de diferentes variables como independencia física, algo así como variables independientes separadas:

$\frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \frac{\partial}{\partial x}$.

Los operadores de conmutación son dos operadores cualesquiera que se pueden aplicar a una función en cualquier orden sin alterar el resultado.

Cuando dos operadores qm no conmutan, significa que nos faltan cosas en Nature. Es decir, la mecánica cuántica es una teoría de la medición pero no de la naturaleza debido a la no conmutación. Por lo tanto, esto significa que la mecánica cuántica no puede describir lo que nos perdemos, y esto lleva a la conclusión de que qm no es una descripción completa de la naturaleza.