Imagen de Heisenberg de QM como resultado del formalismo de Hamilton

Como con la mayoría, si no todas (en última instancia), las cosas en física, NO se deriva $(2)$de$(1)$, uno adivina$(2)$de$(1)$y luego confirma la solidez de la conjetura a través del experimento. Estoy siendo un poco frívolo con la palabra "adivinar" como una ligera satirización de nosotros mismos como físicos cuando nosotros (incluido yo mismo definitivamente) perdemos de vista el hecho de que no estamos llegando a pruebas matemáticas. Para que no suene un poco condescendiente, puede tomar lo siguiente como una crítica y una corrección que me he hecho severamente muchas veces a MÍ MISMO cuando se me han ocurrido preguntas similares y esta misma.

Entonces, reformulemos nuestra pregunta como "¿cómo (1) motiva (2)"? (1) describe la evolución temporal del valor de alguna función suave$f = f(\psi)$en un colector$M$llamamos "espacio de configuración" cuando el estado de un sistema$\psi \in M$evoluciona a lo largo de un camino en$M$, cuyo camino está definido por las ecuaciones de movimiento clásicas de Hamilton. Todo es determinista, las coordenadas representadas por posiciones generalizadas$\mathbf{p}$e impulsos$\mathbf{q}$son, en principio, definibles con una precisión infinita y se puede hablar significativamente sobre las "posiciones" y los "momentos" del sistema, todo a la vez con cualquier precisión. Podemos pensar en una función suave general$f(\psi)$como una medida de precisión infinita en el sistema cuando el estado de este último es$\psi$.

Luego viene Heisenberg y dice que las mediciones son las únicas cosas que son reales y que la especificación de precisión infinita de un estado en el espacio de configuración como se hace en la mecánica clásica hamiltoniana y lagrangiana no tiene sentido, al menos a niveles cuánticos, porque la medición precisa de algunos de los co -ordenadas en el espacio de estado significa que otras solo pueden medirse aproximadamente, es decir, nace el principio de incertidumbre.

Este nuevo pensamiento no solo hace que el concepto de espacio de configuración sea incómodo, sino que destruye por completo el concepto de espacio de configuración, por lo que tenemos algo genuinamente nuevo. Si vamos a salvar nuestras ideas clásicas, esto solo puede hacerse a través de conjeturas, analogías, inspiración, no derivaciones. Las únicas derivaciones que hacemos son al revés: una vez que hemos adivinado la nueva teoría, debemos demostrar que podemos derivar la antigua como una aproximación que se cumple cuando las condiciones experimentales son las que validaron la antigua teoría.

Entonces, ¿cómo encontramos "suposiciones" e "inspiraciones"? La respuesta fue diferente para casi todos los practicantes de la mecánica cuántica temprana, al igual que es probable que obtenga muchas respuestas a su pregunta: está bien y funciona bien como inspiración para la persona en particular que las presenta. Así es como me gusta pensar en las cosas.

Después de Heisenberg, nos quedamos con algún estado$\psi$desencarnado de cualquier espacio de configuración, y este estado define los valores de varios observables , que son operadores que modelan medidas, junto con recetas especiales para interpretar qué medidas producen estos operadores cuando el estado$\psi$prevalece Como no tenemos un espacio de configuración, realmente no tenemos mucho con qué trabajar, así que solo decimos$\psi$pertenece a algún espacio de Hilbert y los observables son los operadores en este espacio, vea mi descripción aquí . A mí, a diferencia de Heisenberg, también me gusta comenzar con la ecuación general de Schrödinger, ya que en realidad no supone mucho más que linealidad junto con la suposición de que la descripción del sistema no varía en el tiempo: esto produce

( ver mi explicación de esto aquí ). En este punto$\hat{H}$es algún observable que define de alguna manera las entrañas del sistema. A partir de entonces, podemos convertir la imagen de Schrödinger a Heisenberg (también como en la misma respuesta que acabo de citar), en la que el estado ya no evoluciona, sino que lo hacen los observables:

y en este punto nosotros (o más bien, Dirac en 1926) notamos la semejanza entre la evolución del observable y la de la medida clásica evolucionando en el espacio de configuración siguiendo la ecuación (1) que involucra el paréntesis de Poisson. Es esta semejanza o analogía lo que motiva a la gente a adivinar que las teorías cuánticas se pueden adivinar a partir de las clásicas al reemplazar los corchetes de Poisson con Lie. También hay otras analogías matemáticas que algunas personas (incluyéndome a mí) encuentran reconfortantes y motivadoras: por ejemplo, los corchetes de Poisson pueden definir Derivaciones (en el sentido algebraico, no lógico, de la palabra) en el espacio lineal de funciones suaves en el espacio de configuración colector$M$, tal como los corchetes de Lie definen derivaciones en el fibrado tangente de alguna variedad suave general. En última instancia, la prueba, sin embargo, está en el éxito de cualquier teoría para predecir los resultados experimentales.

Ahora vale la pena mencionar que, después del hecho, los investigadores (en particular, Weyl, Wigner Groenewold y Moyal) encontraron una manera de reformular la mecánica cuántica para que ambas ecuaciones (1) y (2) puedan demostrar que pertenecen a una forma más general. entero. El espacio de fase clásico se puede "regenerar" en el espacio de fase cuántica, donde ahora la información en el estado$\psi$en el espacio de Hilbert se reemplaza por una distribución de cuasi probabilidad completamente equivalente lógicamente que es una función de distribución sobre las coordenadas del espacio de fase$p_j$y$q_j$: consulte la página de Wikipedia sobre la formulación del espacio de fase cuántica : esta distribución de probabilidad tiene un valor real pero puede ser negativa en pequeñas regiones del espacio de fase. Sin embargo, tales regiones son pequeñas en el sentido de "lo suficientemente pequeñas para representar precisión simultánea en$p$y$q$que violaría el principio de incertidumbre. Sobre las regiones permitidas por el principio de incertidumbre, la distribución integrada es positiva, de modo que se convierte en una distribución de probabilidad "clásica" si se imagina "ganando en bruto" el espacio de fase cuántica para que se aproxime mediante puntos discretos, cada uno de los cuales ocupa el lugar de un volumen en el espacio de fase correspondiente a una precisión simultánea en$x$y$p$permitido por el principio de incertidumbre. Los observables ahora se convierten, a través de la transformada de Wigner-Weyl, en operadores en el espacio de fase (integrales de probabilidad marginal generalizada) y la composición de operadores se reemplaza por el producto estrella. El soporte Lie de los operadores se sustituye por el soporte Moyal . Ahora llegamos a una versión generalizada de su ecuación (1):

donde el Moyal Bracket$\{\{\;,\;\}\}$es su paréntesis de Poisson clásico más términos de pedido de orden superior $\hbar^2$Así que llegamos al círculo completo. El corchete de Moyal es una derivación generalizada (nuevamente en el sentido algebraico) que incluye una deformación continua entre los corchetes clásicos de Poisson y de Lie de la mecánica cuántica, parametrizada por un parámetro real$\hbar$(con el corchete de Poisson resultante como$\hbar\rightarrow 0$). Esto es extremadamente elegante y convincente, pero es importante tener en cuenta que todo esto se hizo después del hecho en los años justo antes de 1949. Este tipo de generalización es el tipo de "derivación" de la física clásica como un límite de la física cuántica más general. física de la que hablé al comienzo de mi respuesta.

Por último, otro camino entre las ideas clásica y cuántica se puede ver en la evolución temporal de las hipersuperficies de acción constante en el espacio de configuración clásica, que se puede demostrar que se describe mediante la ecuación de Eikonal (una reformulación de la ecuación de Hamilton-Jacobi), que, en este contexto, es una ecuación de Schrödinger no lineal: consulte la página de Wikipedia sobre la ecuación de Hamilton-Jacobi . Ahora, pensando en estas hipersuperficies de acción constante, la ecuación de Eikonal es una aproximación de la ecuación de Helmholtz que se cumple cuando el campo escalar varía lentamente en el espacio en comparación con la longitud de onda. Entonces, nuestra motivación es que tal vez la ecuación de Hamilton-Jacobi sea simplemente la aproximación que se cumple cuando la tasa de cambio de la acción$S$es pequeño en comparación con algún cuanto de acción$\hbar$por unidad de "distancia" en el espacio de configuración. Así que "ingeniería inversa" esta reformulación de la ecuación de Hamilton-Jacobi para obtener la ecuación de Schrödinger real usando la relación entre las ecuaciones de Eikonal y Helmholtz para ayudarnos. Una vez que tengamos la ecuación de Schrödinger, podemos obtener su ecuación (2).

Asegúrese también de explorar la historia de las primeras ideas de reemplazo de los corchetes de Poisson por Lie en el artículo citado por @Trimok: http://quantum-history.mpiwg-berlin.mpg.de/eLibrary/fileserverPub/Duncan-Janssen_2009_Canonical- Transformaciones.pdf/V1_Duncan-Janssen_2009_Canonical-Transformations.pdf

Para complementar la respuesta de WetSavannaAnimal, me gustaría agregar algunas lecturas sugeridas. Primero, permítanme reformular un poco la pregunta.

Problema

Encuentre un mapeo (o una asignación) a los observables de la mecánica clásica, que son funciones de valor real$f(p_k, q^k)$de$(p_k,q^k) = (p_1, \dots, p_{n}, q^{1}, \dots, q^{n})\in\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{n}$(el espacio de fase), operadores autoadjuntos$Q_{f}$en el espacio de Hilbert$L^{2}(\mathbb{R}^{n})$de una manera que

1. Linealidad. La correspondencia$f\to Q_{f}$es lineal
2. Preserva la Identidad. Tenemos$Q_{\mathbf{1}}=I$dónde$I$es el operador de identidad y$\mathbf{1}$es la función constante que siempre es igual a 1
3. Poisson Bracket se convierte en Conmutador. Para cualquier función en el espacio de fase$f(p,q)$y$g(p,q)$, tenemos $$Q(\{f,g\}) = \frac{-\mathrm{i}}{\hbar}[Q_{f},Q_{g}]$$
4. Irreductibilidad. Este es un requisito técnico: tenemos$Q_{q}$y$Q_{p}$representarse irreductiblemente. Por lo general, es suficiente decir, en las coordenadas del espacio de posición, tenemos$Q_{p}=\mathrm{i}\hbar\partial_{q}$y$Q_{q}=q$.

Van Hove (y Groenewald de forma independiente) demostraron un teorema de no-go diciendo que, en general, es imposible encontrar tal$Q$. Las primeras dos referencias a continuación revisan el teorema y sus soluciones; el tercero repasa la historia de los sistemas clásicos de cuantificación.

La respuesta corta es: es imposible porque el mapa dado no puede cuantificar de manera consistente los términos que son cuadráticos o de orden superior (p. ej.$q^{3}p^{3}$puede cuantificarse de muchas maneras diferentes, dando resultados no equivalentes).

Por supuesto, teóricamente la naturaleza ya está cuantizada ... así que preguntar "¿Cómo cuantificamos este sistema clásico?" es una pregunta equivocada . Pero eso no nos impide intentar inventar enfoques para cuantificar;)

Referencias

1. S. Twareque Ali, Miroslav Engliš, "Métodos de cuantificación: una guía para físicos y analistas". Rev.Math.Phys. 17 (2005) 391-490. EprintarXiv :math-ph/0405065
2. Mark J. Gotay, "Obstrucciones a la cuantificación". J. Ciencia no lineal. 6 (1996) 469-498. eprint sustancialmente revisado arXiv:math-ph/9809011
3. ¡Alguna historia de las técnicas de cuantización también podría ser una buena lectura! NP Landsman, "Entre lo clásico y lo cuántico". EprintarXiv :quant-ph/0506082