¿Por qué usamos una notación diferencial diferente para el calor y el trabajo?

Creo que la buena forma de presentar la termodinámica es a través del formalismo de la geometría diferencial.

Cuando el proceso termodinámico es reversible, puede describirse como una curva en una variedad de estados de equilibrio (porque cada paso intermedio está equilibrado). Entonces$\delta W = -p dV$y$\delta Q = T dS$son formas diferenciales - covectores tangenciales a la variedad de estados de equilibrio. Sin embargo, (en general) no son derivados exteriores.$d f$de cualquier función de estado$f$. No hay función de estado.$W$tal que$dW = \delta W$.

Notación
A veces, el calor y el trabajo se marcan con signos especiales para subrayar que no son diferenciales reales, como diferenciales con un trazo, como se muestra aquí o algo así

¿Son funciones el trabajo y el calor?
El trabajo y el calor son, por supuesto, funciones, pero no dependen sólo de las variables del sistema y, por lo tanto, no son funciones de las variables de estado únicamente. Por ejemplo, si trabajamos en$p,V$variables, entonces hay muchos caminos que conectan estados$p_1,V_1$y$p_2,V_2$- cada uno de esos caminos corresponde a una combinación diferente de trabajo y calor, aunque la energía interna al final del camino es siempre la misma. Esto significa que el calor y el trabajo no son diferenciales en un sentido estrictamente matemático, mientras que la energía interna sí lo es ( ver aquí la diferencia entre derivada y diferencial ).

"¿Cuál es la razón termodinámica para describirlos como si no fueran cambios en nada?"

Bueno, ¿cuáles serían los cambios en ? No hay alguna cantidad de calor que pertenezca a algo de lo cual$\delta Q$es un cambio; es sólo calor mientras la energía fluye. Una observación similar se aplica al trabajo, que también es energía en tránsito.

$df,\,\Delta f$y$\delta f$están asociados con la idea de un cambio de un valor inicial a un valor final.

Entonces$\Delta f$o$\delta f$son iguales a$f_{\rm final}-f_{\rm initial}$y$df$cuando el cambio es infinitesimal.

Como ha señalado con el trabajo y el calor, no hay estados inicial y final, pero es útil usar algún tipo de notación para la cantidad de trabajo realizado y el calor suministrado.

Algunas personas usan$\delta f$explicando que representa una cantidad "pequeña", mientras que otros usan el delta en minúsculas con una barra que lo atraviesa (no puedo encontrar el símbolo de látex para esto, aunque hay uno para$h$,$\hbar$) para hacer la distinción más obvia.
Entonces "deltabar Q" podría ser igual$m\,C\,\delta T$y "barra delta W" podría ser igual$F\,\Delta x$dónde$\delta T = T_{\rm final}-T_{\rm initial}$y$\Delta x = x_{\rm final}-x_{\rm initial}$.