Derivadas parciales vs derivadas totales en termodinámica

En primer lugar: usted y las personas en su curso ciertamente no son los únicos estudiantes que enfrentan este problema. En mi segundo y tercer año universitario lo tuve yo mismo. La razón es que los físicos usan una notación abusiva . Y lo hacen mucho. Los matemáticos tienen menos problemas con estas cosas. En esta respuesta intentaré usar términos intuitivos y ser preciso al mismo tiempo.

Primero un comentario sobre los espacios de parámetros . Es importante tener claro con cuál estás tratando para ver la diferencia entre la derivada parcial y la total. Por ejemplo, probablemente trabajará con sistemas que tienen (p,V,T,N) (notación habitual). O, para simplificar, tomemos un número de partículas constante N y tengamos alguna ecuación de estado (por ejemplo, gas ideal). Entonces el estado de su sistema está completamente determinado por (p,V). Pero a través de la ecuación de estado están vinculados a T, por lo que también podrías expresarlo en términos de (T,V) o (p,T).

Ahora estamos listos para las derivadas. Una derivada parcial es una derivada a lo largo de una cierta dirección especificada en el espacio de parámetros . Por ejemplo, en su caso, esa dirección es la línea z = constante. Tenga en cuenta que la dirección debe determinarse por completo, por lo que cuando su espacio de parámetros es n-dimensional, debe especificar n-1 variables (es decir, una variable libre que es el parámetro a lo largo de esa dirección). La primera expresión para la capacidad calorífica que tiene arriba es exactamente eso SI z=const. determina una dirección (es decir, funciona en el espacio de parámetros bidimensionales (P,V) que teníamos como ejemplo). Una cosa más que necesitaremos comparar con la derivada total: la derivada parcial a lo largo de una cierta dirección es una función de la posición en el espacio de parámetros. Es decir, en nuestro caso de ejemplo:$C_z = f(p,V)$

Entonces, ¿cuál es la derivada total entonces? De hecho, es un objeto completamente diferente ya que no es una función de posición en el espacio de parámetros únicamente. En cambio, también depende de la dirección en la que se está diferenciando. Entonces, es mejor pensar en ello como la expansión (nuevamente usando el ejemplo de la capacidad calorífica):

$dQ = \left( \frac{\partial Q}{\partial p} \right)_{V=const} dp + \left( \frac{\partial Q}{\partial V} \right)_{p=const} dV$

Entonces, para encontrar dC, debe especificar cuánto se mueve en la dirección dp y dV. Así que este es de hecho un objeto bastante complicado. ¿Cómo es útil? Se pueden encontrar relaciones entre diferentes derivadas totales. Por ejemplo, dividir por dp arriba da:

$\frac{dQ}{dp} = \left( \frac{\partial Q}{\partial p} \right)_{V=const} + \left( \frac{\partial Q}{\partial V} \right)_{p=const} \frac{dV}{dp}$

Esto relaciona la derivada$\frac{dQ}{dp}$a$\frac{dV}{dp}$. Entonces, si conoce lo último (lo que significa que conoce la dirección), puede calcular lo primero. Entonces también se pueden leer diferentes relaciones de derivadas parciales, por ejemplo, establecer$\frac{dV}{dp} = \left( \frac{\partial V}{\partial p} \right)_{q=const}$(tenga en cuenta que esta no es una expresión generalmente cierta, sino que es elegir la dirección q=const.) da una expresión para$\left( \frac{\partial Q}{\partial p} \right)_{q=const}$

Ya he explicado los principios. Será útil revisar todas sus definiciones y ver cuál es cuál. Probablemente encontrará que la mayoría de las definiciones explícitas son en realidad derivadas parciales y las totales solo se usan para relacionarse entre sí. En su ejemplo anterior, una derivada total ni siquiera tiene sentido.

Consulté wikipedia , encontré la siguiente definición

$$df=\frac{\partial f}{\partial x_{1}}dx_{1}+...+\frac{\partial f}{\partial x_{n}}dx_{n}$$ está escrito después de "En el caso unidimensional, esto se convierte en" $$df=\frac{ df}{dx}dx$$ y no es cierto, la escritura es: $$df=\frac{\partial f}{\partial x}dx$$ omitiendo el índice (1).

y consulté varios libros de matemáticas (*), el diferencial está definido por

$$df=f'dx$$

por lo que podemos escribir:

$$\frac{df}{dx}=\frac{\partial f}{\partial x}=f'$$

cuando dominas la herramienta.

(*)-Curso superior de matemáticas volumen I, V.Smirnov.

-Cálculo diferencial e integral tomo I, N.Piskounov.

-Análisis matemático volumen I, G.Chilov.

-Análisis matemático, A.Kartachev, B.Rojdestvenski