¿Cuál es la diferencia entre dependencia temporal implícita, explícita y total, por ejemplo, ∂ρ∂t∂ρ∂t\frac{\parcial \rho}{\parcial t} y dρdtdρdt\frac{d \rho} {dt}?

Normalmente lo explico de esta manera:

$$\rho = \rho(t,x(t),p(t))$$ $$\frac{\partial\rho}{\partial t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\rho(t+\Delta t,x(t),p(t))-\rho(t,x(t),p(t))}{\Delta t}$$ $$\frac{d\rho}{d t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\rho(t+\Delta t,x(t+\Delta t),p(t+\Delta t))-\rho(t,x(t),p(t))}{\Delta t}$$

Básicamente, está preguntando sobre la derivada material cuando se habla de una derivada total con respecto al tiempo.

Digamos que estás mirando la velocidad del aire en tu habitación. Hay una velocidad diferente en todas partes, y cambia con el tiempo, así que

$$v = v(x,y,z,t)$$

Cuando tomas una derivada como

$$\frac{\partial v}{\partial t}$$

usted está diciendo "Seguiré muestreando la velocidad del viento en el mismo punto exacto en mi habitación, y encontraré qué tan rápido cambia esa velocidad".

Si, por el contrario, tomas

$$\frac{\textrm{d}v}{\textrm{d}t}$$

ahora está diciendo, "siga siguiendo un poco de aire en particular, y vea qué tan rápido cambia su velocidad (es decir, encuentre su aceleración)".

(nota: Marek ha hecho una buena aclaración sobre la diferencia entre estos dos usos de$t$en los comentarios a esta respuesta.)

Están relacionados por la regla de la cadena.

$$\frac{\textrm{d}v}{\textrm{d}t} = \frac{\partial v}{\partial t} + \frac{\partial v}{\partial x}\frac{\textrm{d}x}{\textrm{d}t} + \frac{\partial v}{\partial y}\frac{ \textrm{d}y}{\textrm{d}t} + \frac{\partial v}{\partial z}\frac{\textrm{d}z}{\textrm{d}t}$$

Esto dice que si miras una pequeña partícula de aire en particular, su velocidad está cambiando parcialmente porque todo el campo de velocidad está cambiando. Pero incluso si todo el campo de velocidad no cambiara, la velocidad de la partícula seguiría cambiando porque se mueve a un nuevo lugar, y la velocidad también es diferente en ese lugar.

Como otro ejemplo, digamos que hay una hormiga arrastrándose sobre una colina. Tiene una altura que es una función de la posición bidimensional.

$$h = h(x,y)$$

si miramos$\partial h/\partial x$, estamos viendo la pendiente en la dirección x. Lo encuentra moviéndose un poco en la dirección x mientras mantiene y igual, encontrando el cambio en z y dividiendo por cuánto se movió.

Por otro lado, dado que estamos rastreando a la hormiga, podríamos querer saber cuánto cambia su altura cuando se mueve un poco en la dirección x. Pero la hormiga viaja a lo largo de su propio camino intrincado, y cuando se mueve en la dirección x, termina cambiando también su coordenada y.

El cambio total en la altura de la hormiga es el cambio en su altura debido al movimiento en la dirección x más el cambio debido al movimiento en la dirección y. La distancia que la hormiga se mueve en la dirección y a su vez depende del movimiento en la dirección x. Así que ahora tenemos

$$\frac{\textrm{d}h}{\textrm{d}x} = \frac{\partial h}{\partial x} + \frac{\partial h}{\partial y}\frac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}$$

En el lado derecho de esa ecuación, el primer término corresponde al cambio de altura debido al movimiento en la dirección x. El segundo término es el cambio de altura debido al movimiento en la dirección y. La primera parte de eso,$\partial h/\partial y$es el cambio de altura debido al cambio de y, mientras que la segunda parte,$\textrm{d}y/\textrm{d}x$describe cuánto cambia realmente y cuando cambias x, y depende de las particularidades del movimiento de la hormiga.

Editar Ahora veo que te preocupa específicamente la ecuación de la mecánica cuántica

$$\frac{\textrm{d}}{\textrm{d}t}\langle A \rangle = -\frac{\imath}{\hbar}\langle[A,H]\rangle + \langle \partial A/\partial t \rangle$$

Aquí,$\langle \partial A/\partial t\rangle$es el valor esperado de la derivada parcial del operador$A$con respecto al tiempo. Por ejemplo, si$A$es el hamiltoniano para una partícula en un campo eléctrico dependiente del tiempo, ese operador contendría el tiempo explícitamente. Comenzamos diferenciando formalmente al propio operador y luego tomando el valor esperado.

Por otra parte$\langle A \rangle$es simplemente una función de tiempo de valor real (si$A$es hermitiano), por lo que$\textrm{d} \langle A \rangle / \textrm{d} t$es la derivada usual de una función real de una sola variable.

Tal vez se dé mejor una respuesta intuitiva en términos de física clásica. Suponga que está observando el movimiento de una partícula clásica. Las variables relevantes aquí son la posición y el impulso. Si resuelve el movimiento de su sistema, se le presentan funciones$x(t)$y$p(t)$.

Ahora, hay muchas cantidades derivadas que puedes construir a partir de estas trayectorias. Por ejemplo, el momento angular$\vec{L} = \vec{x} \times \vec{p}$. Ya que$x$y$p$depende del tiempo,$L$también depende del tiempo, pero en este caso lo hace sólo porque$x$y$p$depender del tiempo. Tienes básicamente una función.$L = L(x,p)$que luego se convierte$L(x(t), p(t))$. Esto se debe a que en la definición de$L$, el tiempo no juega un papel. Por lo tanto, decimos que esta cantidad solo tiene una dependencia temporal implícita . En particular,$\frac{\partial L}{\partial t} = 0$.

Sin embargo, si su cantidad derivada$f$se define por alguna razón tal que el tiempo aparece explícitamente en la definición, entonces$\frac{\partial f}{\partial t} \not= 0$. Por ejemplo, es posible que desee agregar un factor de fase dependiente del tiempo a su cantidad, por ejemplo$f = \vec{x} \cdot \vec{p} \cdot e^{i\omega t}$. Entonces tenemos$f = f(x,p,t) = f(x(t), p(t), t)$, y ahora$\frac{\partial f}{\partial t}$no es cero