Solo estoy siguiendo mi curiosidad aquí. Siéntete libre de corregirme y señalarme en una mejor dirección. (Las buenas referencias y la explicación de lo que se sabe y lo que no aumenta en gran medida las probabilidades de que se acepte una respuesta). A continuación, cuando digo "singularidad", me refiero a una singularidad gravitacional , no a un horizonte de eventos, que se caracteriza aproximadamente por:
Los teoremas de singularidad de Penrose-Hawking [que] definen una singularidad para tener geodésicas que no se pueden extender de manera suave. La terminación de tal geodésica se considera la singularidad.
Además, en cuanto a las singularidades de curvatura:
De manera más general, un espacio-tiempo se considera singular si es geodésicamente incompleto , lo que significa que hay partículas en caída libre cuyo movimiento no se puede determinar más allá de un tiempo finito, siendo posterior al punto de alcanzar la singularidad.
Siéntase libre de especificar respuestas a singularidades de curvatura, en lugar de "singularidades gravitacionales" como un todo.
Mis preguntas:
¿Existe una distinción formal entre geometría intrínseca y extrínseca para una singularidad gravitacional? ¿Requiere esto topología, en lugar de geometría diferencial? ¿Es por definición que es imposible obtener la geometría intrínseca de una singularidad?
¿Por qué la métrica de un espacio-tiempo puede informarnos sobre la geometría extrínseca de una singularidad gravitatoria, pero no sobre la geometría intrínseca? ¿Está esto relacionado con la diferencia entre las propiedades que dependen solo de la "variedad abstracta" frente a las propiedades que dependen de una incrustación de la variedad (ver el último párrafo de la respuesta de Michael Weiss)?
El ejemplo que me hizo preguntar es la métrica de Kerr, la solución a las ecuaciones de Einstein con axisimetría, que posee masa y momento angular de espín. Es un resultado común en los libros de texto GR que la singularidad gravitatoria tiene una estructura de anillo .
En la parte inferior de la página 8 de este documento, dicen:
Por supuesto, en términos de la geometría "completa", especificada por la métrica física , la geometría intrínseca de la singularidad de la curvatura es, inevitablemente y por definición, singular.
y en la página 28:
Pero al igual que la afirmación de que la singularidad es un "anillo", esta no es una afirmación sobre la geometría intrínseca; es más bien una afirmación sobre el espacio plano de Minkowski matemáticamente conveniente pero ficticio que es tan útil para analizar la forma de Kerr-Schild de la Espacio-tiempo de Kerr.
Entonces, ¿la razón por la cual los autores citados arriba afirman que el anillo muestra la geometría extrínseca de la singularidad porque el anillo es una propiedad de la variedad que depende de la incrustación utilizada? En caso afirmativo, ¿alguna incrustación muestra el anillo, o solo algunas? ¿Cuál es la incrustación en este caso que muestra el anillo?
Para volver a tomar a Kerr como ejemplo, la región del disco singular del anillo puede hacerse regular, reduciendo la singularidad gravitacional a una región más pequeña ( no necesariamente un punto , es complicado). ¿Es esta continuación analítica un ejemplo de elegir una incrustación diferente donde la región del disco ya no es regular? ¿O estoy destrozando esto por completo? Pido disculpas si esta pregunta es cruda, pero estoy llegando al límite de mis conocimientos matemáticos.
No estoy seguro de si existe una definición universalmente aceptada de singularidad y, cuando importa, probablemente se especifique con cuidado.
Sin embargo, en general, una singularidad gravitacional es un punto del espacio-tiempo donde diverge una cantidad escalar construida a partir del tensor de curvatura (usted quiere una cantidad escalar para no obtener singularidades debido a una mala elección de coordenadas).
Desde un punto de vista matemático, en lugar de trabajar con cantidades divergentes, a menudo se prefiere eliminar del espacio-tiempo el punto en el que se produce la divergencia. Esto generalmente conduce a una variedad (geodésica) incompleta: hay geodésicas que terminan en un tiempo propio finito.
La incompletitud parece una buena manera de codificar la noción de singularidad, sin embargo, no desea incluir aquellos casos en los que la variedad está incompleta solo porque está omitiendo una parte. Inextensible pero incompleto puede capturar al menos una buena parte de esos espacio-tiempos que quieres considerar singulares. No estoy seguro de hasta qué punto tiene éxito, pero parece un buen punto de partida.
pedro