Comprensión conceptual de los símbolos de Christoffel

No, no son segundas derivadas de ningún tipo. Son los "coeficientes de expansión" para diferenciar un campo de vector base a lo largo de otro. La expresion$\nabla_XY$significa aproximadamente "diferenciar el campo vectorial$Y$a lo largo de la dirección$X$". Ahora, uno puede considerar cualquier marco local$\{\xi_1,\dots, \xi_n\}$del paquete tangente, y en este sentido, considere$\nabla_{\xi_i}(\xi_j)$. Este es nuevamente otro campo vectorial local, por lo que puede escribirse como una combinación lineal$\nabla_{\xi_i}(\xi_j)=\Gamma^k_{ij}\xi_k$para algunos$\Gamma$'s. Entonces$\Gamma^{k}_{ij}$nos dice el$\xi_k$componente del cambio de$\xi_j$a lo largo de$\xi_i$; pero este 'cambio' surge debido a una 'primera derivada'. En efecto, el hecho de que$\nabla$satisface la regla del producto es muy característico de las primeras derivadas.

No se confunda por el hecho de que los campos vectoriales base inducidos por coordenadas se pueden escribir como$\frac{\partial}{\partial x^i}$. Esto simplemente tiene que ver con una de las muchas formas equivalentes en que se define el espacio tangente a una variedad.

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Editar en respuesta a los comentarios:

Ok, mi primera oración fue demasiado dura (vea la respuesta excelente y concisa de Deane para una interpretación, y más abajo para una interpretación de caso especial diferente), pero aún así, mantengo que en lo que respecta a los derivados de campos vectoriales/secciones de paquetes (que es principalmente por lo que se introducen las derivadas covariantes), no debe pensar en las segundas derivadas.

Suponer$M$es un suave$m$subvariedad incrustada -dimensional de$\Bbb{R}^n$, dejar$\phi:A\to \phi[A]\subset M\subset\Bbb{R}^n$ser una parametrización local de$M$, dónde$A\subset\Bbb{R}^m$es un conjunto abierto (entonces$\phi$es suave, un homeomorfismo sobre su imagen, y tiene derivada inyectiva en cada punto, todo en el sentido habitual del cálculo multivariable). Ahora bien, para cada$p\in \phi[A]\subset M$, y cada$i\in\{1,\dots, m\}$definamos

$$\begin{align} \xi_i(p):=(\partial_i\phi)_{\phi^{-1}(p)}\equiv \frac{\partial \phi}{\partial u^i}\bigg|_{\phi^{-1}(p)}\in\Bbb{R}^n. \end{align}$$ Este es un vector tangente a$M$en el punto$p$; vea esta respuesta en caso de que no se sienta cómodo relacionando las definiciones abstractas con cosas concretas en el especial$\Bbb{R}^n$caso. Dejar$\langle\cdot,\cdot\rangle$denote el producto interno estándar en$\Bbb{R}^n$y definir para cada$a,b\in\{1,\dots, m\}$, $$\begin{align} g_{ab}(p):=\langle \xi_a(p),\xi_b(p)\rangle, \end{align}$$ y deja$[g^{ab}]$denote la matriz inversa a$[g_{ab}]$. Este$g$en realidad no es otro que el tensor métrico en$M$inducido a través del retroceso de la métrica RIemanniana estándar en$\Bbb{R}^n$. Ahora, usando la conexión Levi-Civita en$M$, podemos deducir fácilmente que los símbolos de Christoffel son $$\begin{align} \Gamma^k_{ij}(p)&=\frac{1}{2}g^{ks}(p)\left(\partial_i(g_{js}\circ \phi)_{\phi^{-1}(p)}+ \partial_j(g_{si}\circ \phi)_{\phi^{-1}(p)}- \partial_s(g_{ij}\circ \phi)_{\phi^{-1}(p)}\right)\\ &=g^{ks}(p)\cdot \langle(\partial_i\partial_j\phi)_{\phi^{-1}(p)}, (\partial_i\phi)_{\phi^{-1}(p)}\rangle\\ &\equiv g^{ks}(p)\cdot \left\langle\frac{\partial^2\phi}{\partial u^i\partial u^j}\bigg|_{\phi^{-1}(p)},\frac{\partial\phi}{\partial u^s}\bigg|_{\phi^{-1}(p)}\right\rangle \end{align}$$ (la última igualdad es solo un cambio a la notación más clásica de Leibniz). Entonces, está bien, los símbolos de Christoffel correspondientes a la conexión Levi-Civita para una subvariedad incrustada, y correspondientes a una parametrización local, dependen de las segundas derivadas de la parametrización.

Habiendo dicho esto, he aquí por qué le recomiendo encarecidamente que no piense que solo por esto, los símbolos de Christoffel capturan las segundas derivadas.

• Esto se basa en tener$M$estar incrustado en algunos$\Bbb{R}^n$, y aprovechamos en gran medida que este es un espacio vectorial de producto interno (necesitábamos el producto interno de$\Bbb{R}^n$y necesitábamos la estructura del espacio vectorial para diferenciar$\Bbb{R}^n$-mapas valorados, a saber, la parametrización$\phi$). Sí, hay varios teoremas de incrustación (incluso los isométricos), por lo que, en cierto sentido, esto no es una pérdida de generalidad. Sin embargo, por lo general, se necesita un espacio ambiental de dimensiones mucho más altas (y cuanto más grande es el espacio ambiental, más información aparentemente superflua hay, lo que automáticamente dificulta el reconocimiento de las propiedades intrínsecas). También estamos hablando solo de la conexión Levi-Civita.

• Desarrollando el comentario anterior, no se nos da una variedad general ya incrustada en$\Bbb{R}^n$, y como tal, no tiene "vectores de posición", o como usé anteriormente,$\Bbb{R}^n$parametrizaciones valoradas$\phi$. Estas parametrizaciones no son las cantidades fundamentales. es decir, en los cursos básicos de matemáticas y física, primero aprendemos sobre distancias, luego aprendemos sobre posición/desplazamiento, y luego aprendemos sobre velocidad y luego sobre aceleración. Sin embargo, en geometría diferencial, el objeto fundamental es la variedad y sus diversos espacios tangentes (es decir, las velocidades son el objeto principal). Los "vectores de posición" son un concepto sin sentido a menos que ya esté incrustado. "velocidad" es un concepto adicional que solo puede tener sentido una vez que se tiene un tensor métrico, y finalmente las distancias/longitudes se obtienen integrando la velocidad de las curvas. Entonces, nuestro desarrollo lógico está muy invertido (esto es más general y más útil). Entonces, en la medida de lo posible,

• Solo porque las segundas derivadas de$\phi$aparecen en esta fórmula, no significa que el$\Gamma$son "efectos de segundo orden". Dada cualquier función suave$f$, decir$\Bbb{R}\to \Bbb{R}$, puedo encontrar una función$F_1$tal que$F_1'=f$. Del mismo modo, puedo encontrar otra función.$F_2$tal que$F_2''=f$. Para cualquier número entero positivo, puedo encontrar una función que, si se diferencia tantas veces, produce$f$. Entonces eso significa$f$debe ser considerado como un "$0^{th}$derivado" (ya que$f^{(0)}=f$)? ¿O debería pensar en$f$como una "primera derivada" (ya que$F_1'=f$)? ¿Debería pensar en ello como una "segunda derivada" (ya que$F_2''=f$)? Lo mismo con el$\Gamma$'s. (El$\nabla$por otro lado, satisface la regla del producto, que es muy característica de las primeras derivadas, y la$\Gamma$aparecen simplemente debido al álgebra lineal, como los "coeficientes de expansión" relativos a una base).

• Las conexiones de las que estamos hablando aquí se denominan más correctamente conexiones en$TM$(y las conexiones inducidas en los distintos haces tensoriales$T^r_s(TM)$). Una situación un poco más general es que tiene un "paquete de vectores"$(E,\pi, M)$. MUY aproximadamente hablando, esto significa que tenemos dos variedades suaves$E,M$y un mapeo sobreyectivo$\pi:E\to M$. La idea es que se trata de una "familia de espacios vectoriales que varía suavemente". Así que para cada$p\in M$, tenemos un espacio vectorial$E_p:=\pi^{-1}(\{p\})$. Estos espacios vectoriales forman$E$, es decir$E=\bigcup_{p\in M}E_p$. Ahora, podemos considerar un "$E$-campo vectorial", o más técnicamente una sección suave del paquete vectorial. Esto significa que consideramos un mapa$\xi:M\to E$tal que$\pi\circ \xi=\text{id}_M$. Relajando las definiciones, esto solo significa en cada punto$p\in M$tenemos un vector$\xi(p)\in E_p$en este espacio vectorial particular. Ahora, podemos preguntar qué significa tomar derivadas direccionales de un mapeo de este tipo donde el espacio objetivo consiste en no solo un espacio vectorial único como$\Bbb{R}^n$, pero muchos de ellos. Tenga en cuenta que estos espacios vectoriales$E_p$no es necesario que sean los espacios tangentes$T_pM$(entonces el$\xi$no tiene por qué tener nada que ver con$\frac{\partial}{\partial x^i}$). Podrían ser algo completamente diferente. tampoco hay$\Bbb{R}^n$Parametrizaciones valoradas por ahí, por lo que no se deben considerar las segundas derivadas de las parametrizaciones. Sin embargo, la cuestión de tal diferenciación parece bastante fundamental; podemos definir$\nabla$de una manera sencilla (la definición de Koszul para una derivada covariante, o podemos usar la definición mucho más geométrica de Ehresmann para finalmente llegar a$\nabla$). E incluso en esta circunstancia general, el$\Gamma$Los 's pueden verse simplemente como una consecuencia algebraica lineal: son solo ciertos coeficientes en la expansión de elecciones relativas de bases.

El punto principal que deseo recalcar es que, a veces, la apariencia de ciertas cantidades cuando generalizamos la teoría nos dice cómo debemos interpretarla. Ya hemos encontrado tantos baches en el camino cuando tratamos de impartir esta interpretación de segunda derivada a la$\Gamma$'s. Entonces, con suerte, debería ser una motivación lo suficientemente fuerte como para que no sea una forma fructífera de pensar en ello.

Los símbolos de Christoffel surgen de forma natural cuando se quiere diferenciar una función escalar$f$dos veces y queremos que el hessiano resultante sea un$2$-tensor. Cuando resuelves los detalles, descubres que con respecto a las coordenadas locales, la arpillera de$f$es dado por

$$\nabla^2_{ij}f = \partial^2_{ij}f - \Gamma^k_{ij}\partial_kf.$$ En particular, si establece$f(x) = x^k$, usted obtiene $$-\nabla^2_{ij}x^k = \Gamma^k_{ij}.$$

Además, observe que la arpillera de$f$siempre sera simetrico$2$-tensor si$\Gamma^k_{ij} = \Gamma^k_{ji}$, lo que equivale a decir que la conexión está libre de torsión. Esa es una de las razones por las que desea que la conexión Levi-Civita esté libre de torsión.

Supongamos que tenemos un campo vectorial dependiendo en que punto estemos en el espacio$v= v^i e_i$, los Christtofel aparecen naturalmente cuando tomamos la derivada del vector con la parametrización de la coordenada. Son algo así como una 'derivada espacial' de los vectores base.

¿Qué quiero decir con eso? Suponga que se mueve de un punto de la superficie a otro, entonces el campo vectorial en la superficie puede cambiar debido a dos razones:

1. Cambio en el componente del vector
2. Cambio de base

El cambio en la parte de la base es lo que Christoffel intenta capturar.

Supongamos que me muevo de un punto a$A$apuntar$B$, a lo largo de una cuadrícula de coordenadas:

$$e_i(B) - e_i(A) \approx \Gamma_{ik}^l e_l d \lambda$$

Tenga en cuenta que estoy pensando en eso$B$es el punto en el valor del parámetro$\lambda+ d \lambda$y$A$es el punto en el valor del parámetro$\lambda$en las líneas de cuadrícula. Para un valor particular de$i$, podemos pensar en RHS como una matriz que se multiplica en los vectores unitarios para decir cuál es el cambio en esa base a medida que avanzamos a lo largo de la línea de cuadrícula.

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Además, supongo que son una especie de segundas derivadas. En el libro de análisis de tensores de Pavel Grinfeld, habla de cómo, dada una parametrización de una superficie, conocemos automáticamente el vector tangente de la superficie por diferenciación del vector de posición.

Por ejemplo, consideremos una esfera:

$$R(a,\theta,\phi)= a \sin \theta \cos \phi \hat{i} + a \sin \phi sin \theta \hat{j}+ a \cos \theta \hat{k}$$

Si diferencia el vector anterior con las coordenadas, podemos obtener dos vectores tangentes en un punto, es decir:$e_{\theta} =\frac{\partial R}{\partial \theta}$y$e_{\phi} = \frac{\partial R}{\partial \phi}$. El Christoffel estaría entonces relacionado con la segunda derivada del vector de posición (siguiendo la ecuación anterior con la que introduje los símbolos).

$$e_r= \frac{\partial R}{\partial r} = ( \sin \theta \cos \phi, \sin \phi \sin \theta, \cos \theta)$$

$$e_{\phi} = a \sin \theta( - \sin \phi, \cos \phi)$$

$$\frac{\partial e_r}{\partial \phi} = \sin \theta (-\sin \phi , \cos \phi)= \frac{e_{\phi} }{a}$$

Esta ecuación anterior nos dice sobre el Christoffel$\Gamma_{r \phi}^i$para$\{r , \theta ,\phi \}$nos dice que$r$y$\phi$las entradas son cero y$\theta$la entrada es$\frac{1}{a}$