¿Es este mapa un homeomorfismo sobre su imagen?

El mapa$\phi$no es un homeomorfismo sobre su imagen$S\subset{\mathbb R}^3$. La superficie$S$es un cilindro vertical infinito que corta a la$(x,y)$-plano en una curva que forma parte de un folium de Descartes, véase la siguiente figura:

Esta curva no tiene auto-intersección, pero casi. El mapa inverso$\phi^{-1}$está bien definida, pero no es continua en los puntos$\phi(0,y)=(0,0,y)$. Cualquier barrio de$(0,0,0)$contiene puntos de$S$que son mapeados por$\phi^{-1}$sobre puntos en$(-1,\infty)\times{\mathbb R}$de la forma$(M,0)$con$M\gg1$, por lo tanto, estar lejos de$\phi^{-1}(0,0,0)=(0,0)$.

Para esta pregunta, debe cambiar su enfoque. No es necesario calcular la imagen de$\phi$para mostrar que$\phi$es un homoemorfismo sobre su imagen. Un homeomorfismo es una función biyectiva continua tal que la función inversa también es continua. En otras palabras, usted tiene que mostrar lo siguiente:

1. $\phi$es inyectivo Esto muestra la existencia de un mapa inverso.

2. El rango del diferencial de$\phi$es 2. Como ya señaló, esto mostraría que$\phi$es un homeomorfismo local. Esto significaría que el mapa inverso es localmente continuo, y dado que la continuidad es una propiedad local, es globalmente continua.

Tenga en cuenta: si la primera propiedad falla,$\phi$no es un homeomorfismo. Si la segunda propiedad falla, todavía podría ser homeomorfismo. Si falla en un punto$p$, tienes que examinar este punto$p$. Solo en$p$la continuidad del mapa inverso puede romperse.