¿Múltiples que admitan métricas lorentzianas?

No conozco otra referencia, pero la prueba no es demasiado difícil una vez que tienes las herramientas adecuadas, hay muchas.

Dejar$\dim M = n$. Podemos reducir el grupo de estructura de$TM$a$O(n)$eligiendo una métrica riemanniana. Si$TM$admite una métrica indefinida con firma$(p, q)$, entonces el grupo de estructura de$TM$reduce a$O(p, q)$, que es un grupo ortogonal indefinido. Ahora$O(p)\times O(q)$es un subgrupo compacto máximo de$O(p, q)$y por lo tanto una deformación se retracta de él, por lo que el grupo de estructura de$TM$se reduce aún más a$O(p)\times O(q)$. Por lo tanto, hay paquetes de vectores$E$y$F$con$\operatorname{rank} E = p$y$\operatorname{rank} F = q$tal que$TM \cong E\oplus F$. Por el contrario, si$TM \cong E\oplus F$con$\operatorname{rank} E = p$y$\operatorname{rank} F = q$, entonces$TM$admite una métrica indefinida con firma$(p, q)$, Por ejemplo$g = g_E - g_F$dónde$g_E$y$g_F$son métricas riemannianas en$E$y$F$respectivamente.

El caso de la métrica lorentziana corresponde a$q = 1$; algunas personas dirían en cambio$p = 1$, pero no importa, es equivalente. Lo anterior muestra que$TM$admite una métrica lorentziana si y sólo si$TM \cong E\oplus L$dónde$\operatorname{rank}(E) = n - 1$y$L$es un paquete de línea real.

Si$M$no está cerrado, se sigue de la teoría de la obstrucción que$TM$admite una sección cero en ninguna parte y por lo tanto$TM \cong E\oplus\varepsilon^1$dónde$\varepsilon^1$denota el paquete lineal real trivial. Por lo tanto$M$admite una métrica lorentziana.

Supongamos ahora que$M$está cerrado y$TM \cong E\oplus L$. Si$M$es orientable, entonces hay una doble cubierta${}^*$ $p : M' \to M$tal que$p^*L \cong \varepsilon^1$y por lo tanto$TM' \cong p^*TM \cong p^*E\oplus p^*L \cong p^*E\oplus\varepsilon^1$. Como$M'$es orientable, vemos que$\chi(M') = 0$por el teorema de Poincaré-Hopf, entonces$\chi(M) = 0$como$\chi(M') = 2\chi(M)$. Si$M$es no orientable, sea$\pi : \widetilde{M} \to M$ser la doble tapa orientable. Entonces$T\widetilde{M} \cong \pi^*TM \cong \pi^*E\oplus\pi^*L$. Aplicando el argumento como antes con$L$reemplazado por$\pi^*L$, vemos eso$\chi(\widetilde{M}) = 0$, entonces$\chi(M) = 0$como$\chi(\widetilde{M}) = 2\chi(M)$.

Por el contrario, si$M$está cerrado y$\chi(M) = 0$, entonces$M$admite un campo vectorial cero en ninguna parte (ver Corolario$39.8$de la topología de haces de fibra de Steenrod ) y por lo tanto$TM \cong E\oplus\varepsilon^1$. En particular, una variedad cerrada admite una métrica lorentziana si y solo si$\chi(M) = 0$.

${}^*$Explícitamente,$M' = S(L)$, el haz de esferas de$L$con respecto a una métrica de Riemann, y$p$es sólo la restricción de la proyección$L \to M$a$S(L)$. La afirmación sigue una vez que sabe que el retroceso de un paquete vectorial por su propia proyección es trivial y el paquete normal del paquete de esfera en un paquete vectorial es trivial; ver aquí para la última afirmación.