¿Alguien puede explicar (tan rigurosamente como sea posible) lo que implica continuar analíticamente, digamos, la solución de Schwarzschild a la variedad de Kruskal? Entiendo las dos métricas por separado, pero no estoy seguro de cómo se usa la continuación analítica, ya que realmente no puedo ver cómo el proceso de extender el dominio de una función compleja tiene algo que ver con extender una variedad a través de un cambio de coordenadas.
Estimado dbrane, algunos refinamientos de terminología básica podrían ser útiles. Las palabras "máximo" y "analítico" son dos adjetivos más o menos independientes de la "extensión". La palabra "máximo" significa que "no se puede extender más". Por otro lado, la palabra "analítica" se refiere a las "funciones analíticas" estándar.
Las funciones analíticas son funciones infinitamente diferenciables, de modo que si escribe la expansión de Taylor alrededor de cualquier punto, converge a la función original exacta.
Variables reales vs complejas en analiticidad
A pesar de la advertencia de Tim, tiene mucha razón en que la palabra "analítico" en el contexto de la relatividad general está vinculada a "analítico" en el contexto de funciones de variable compleja. La única diferencia es que, en la relatividad general, normalmente sustituimos las coordenadas del espacio-tiempo únicamente por valores reales.
Sin embargo, la definición de función analítica de variable compleja y función analítica de variable real es totalmente análoga. Para funciones complejas de variables complejas, sigue siendo cierto que las funciones analíticas son infinitamente diferenciables, de modo que la expansión de Taylor converge a la función completa en cada punto del "dominio".
Sin embargo, las funciones analíticas de la variable compleja están mucho más restringidas que las "funciones analíticas de dos variables reales", es decir, la parte real e imaginaria: eso se debe a que las funciones analíticas de las variables complejas deben ser holomorfas, independientes de la variable conjugada compleja. De hecho, "analítico" y "holomórfico" son adjetivos exactamente equivalentes cuando se trata de funciones de variables complejas. Entonces, la analogía correcta es entre funciones holomorfas y funciones analíticas reales de una variable real (en lugar de dos).
Ampliación de soluciones en relatividad general
Pero volvamos a la relatividad general. En ese caso, las coordenadas del espacio-tiempo son reales. Una solución con la que comenzamos, por ejemplo, la solución de Schwarzschild, generalmente no se extiende al máximo para comenzar: tiene singularidades coordinadas y uno no puede ir más allá leyendo la solución, aunque las geodésicas continúan a través de esos puntos en el espacio real.
Se puede obtener una extensión de esta solución si redefinimos inteligentemente las coordenadas del espacio-tiempo para que el espacio alrededor de la singularidad de las coordenadas, en este caso, el horizonte de eventos de Schwarzschild, se vuelva regular. Con este paso, nos deshacemos de la singularidad coordinada y el tensor métrico se vuelve no degenerado incluso en el lugar geométrico de la singularidad coordinada anterior (horizonte de eventos).
Una vez que lo hacemos, queda claro que el lugar geométrico del horizonte aparece en un lugar finito en el espacio-tiempo, y debido a que la métrica es suave en un lado, el tensor métrico puede continuarse como una colección de funciones analíticas de las nuevas coordenadas del espacio-tiempo. Esta continuación es totalmente análoga a la continuación en el caso complejo: podemos escribir el desarrollo de Taylor alrededor de un punto dado cerca del límite anterior y simplemente extrapolarlo tanto como podamos.
Podemos continuar hasta donde podamos y si la expansión de Taylor diverge en alguna parte, podemos intentar continuar desde otro punto para llegar aún más lejos. Una vez más, incluso en las nuevas coordenadas, podemos encontrar singularidades coordinadas a medida que extendemos el espacio-tiempo. Para ampliar aún más la solución, podemos elegir incluso mejores coordenadas, y así sucesivamente.
Este proceso finalmente se detiene porque el espacio-tiempo está rodeado por un infinito asintótico (un volumen infinito donde las trayectorias pueden extenderse a una longitud propia infinita) o por singularidades genuinas (curvatura) que no pueden extenderse por ninguna coordenada. Las geodésicas terminan físicamente en esas singularidades reales.
Mi descripción anterior es más o menos una receta mecánica de cómo proceder. Sin embargo, en la práctica, siempre hay que ser inteligente en cada punto, saber qué coordenadas hay que elegir para llegar lo más lejos posible, etc. También puede descubrir que hay varias extensiones máximas, aunque no estoy seguro y no puedo mencionar ningún ejemplo bien conocido ahora.
Ejemplo
Un ejemplo útil son las coordenadas kruskal-Szekeres para la solución de Schwarzschild
que son la continuación analítica máxima de la geometría neutral del agujero negro.
Tim van Beek