la línea con dos orígenes y la relación de equivalencia relacionada

Estoy tratando de probar que la línea con dos orígenes no es Hausdorff, pero tengo problemas para entender el enunciado del problema. no pido solucion , solo necesito una aclaración de lo que significa el problema. Aquí está el problema:

(Problema 3-16 de LeeTM): Sea X ser el subconjunto ( R × { 0 } ) ∪ ( R × { 1 } ) ⊆ R 2 . Defina una relación de equivalencia en X al declarar ( X , 0 ) ∼ ( X , 1 ) si X ≠ 0 . Demostrar que el espacio cociente X / ∼ es localmente euclidiana y segunda contable, pero no Hausdorff.

donde LeeTM:=Introducción a las variedades topológicas por John Lee.

Mi pregunta: que significa "declarar ( X , 0 ) ∼ ( X , 1 ) si X ≠ 0 "¿Quieres decir? Tengo dos conjeturas.

(Adivina 1) Vamos ( X 1 , y 1 ) , ( X 2 , y 2 ) ∈ X , decimos ( X 1 , y 1 ) ∼ ( X 2 , y 2 ) si y solo si X 1 , X 2 son distintos de cero con X 1 = X 2 y { y 1 , y 2 } = { 0 , 1 }

Pero si esto es lo que quiso decir, entonces la clase de equivalencia de ( 0 , 0 ) ∈ X es el conjunto vacío porque su X -la coordenada es cero: ningún punto en X puede tener el mismo distinto de cero X -coordinar como ( 0 , 0 ) . Sin embargo, las clases de equivalencia no pueden ser el conjunto vacío debido a la reflexividad. Por lo tanto, tuve una segunda suposición.

(Adivina 2) ( X 1 , y 1 ) ∼ ( X 2 , y 2 ) si y solo si X 1 = X 2 y { y 1 , y 2 } = { 0 , 1 } .

En este caso, tenemos

( 0 , 0 ) ∉ [ ( 0 , 0 ) ] = { ( 0 , 1 ) }
lo que contradice la reflexividad de la relación de equivalencia.

Así que mi segunda conjetura también es incorrecta. ¿Qué quiere decir realmente? ¿Cuál es la relación de equivalencia que está tratando de definir?

En el ejemplo 3.48 de LeeTM, usó una redacción similar: "let ∼ Sea la relación de equivalencia en B ¯ 2 (el disco de la unidad cerrada en R 2 ) generado por ( X , y ) ∼ ( X , − y ) para todos ( X , y ) ∈ ∂ B 2 ". Definió la relación de equivalencia para los puntos de la frontera pero ¿y los del interior? (Así mismo, en el problema 3-16, definió la relación de equivalencia para X ≠ 0 pero que pasa X = 0 ?)

Él usa esta "descripción" más de una vez, así que creo que puede ser una terminología que todos conocen (excepto yo). ¿Alguien puede explicarme qué significa esta redacción/descripción de la relación de equivalencia?

Respuestas (1)

Significan la relación de equivalencia generada por ( X , 0 ) ∼ ( X , 1 ) para todos X ≠ 0 . Eso es: ( X 1 , y 1 ) ∼ ( X 2 , y 2 ) cuando ya sea (1) X 1 = X 2 y X 1 ≠ 0 ; o (2) X 1 = X 2 y y 1 = y 2 (los puntos son los mismos).

Esto también se conoce como la relación de equivalencia más pequeña en X en el cual ( X , 0 ) ∼ ( X , 1 ) para todos X ≠ 0 . La reflexividad significa que cada punto debe ser equivalente a sí mismo, y además imponemos las identificaciones extra dadas.

Editado para agregar: intuitivamente, en topología, generalmente pensamos en esto como un "pegado" o "colapso". Por ejemplo, suponga que toma el intervalo unitario cerrado [ 0 , 1 ] y luego tomar el cociente del espacio por la relación de equivalencia definida por 0 ∼ 1 . Eso une los dos extremos del intervalo, lo que topológicamente te da un círculo.

No entiendo la "notación" como " 0 ∼ 1 " o " ( X , 0 ) ∼ ( X , 1 ) para todos X ≠ 0 ". Me refiero a que normalmente cuando definimos una relación de equivalencia, decimos, por ejemplo, " X ∼ y si y solo si X = k y para algunos k ∈ Z ". Creo que esa es la forma estándar de definir una relación de equivalencia en un conjunto. La notación simplemente dice " 0 ∼ 1 " no es estándar, ¿no? Mi verdadera pregunta es, ¿cómo puedo aprender sobre esta notación inusual? ¿Puede sugerir una referencia?
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