¿Existe una (cuál es la) definición intrínseca de límite?

En primer lugar, creo que es apropiado enfatizar que la noción de límite para (subespacios de) espacios topológicos es diferente de la de variedades topológicas/suaves. Un ejemplo canónico (como ya discutiste en los comentarios) es la bola abierta, que tiene un límite vacío como variedad, pero tiene la esfera como límite como subespacio del espacio euclidiano. Otro ejemplo fácil es que el límite topológico, debido a que la definición involucra un espacio ambiental, siempre está vacío para el ambiente mismo (como ya mencionaste también).

Para el caso múltiple, la noción está claramente definida intrínsecamente, y su intuición con los grupos de homotopía es correcta, pero es más fácil trabajar con los grupos de homología relativa (la intuición geométrica es la misma):

$x \in \text{Int}(M)$si y solo si$H_n(M,M-x;\mathbb{Z}) \approx \mathbb{Z}$;

$x \in \partial M$si y solo si$H_n(M,M-x;\mathbb{Z}) \approx 0$.

pero solo funciona porque las variedades topológicas son espacios de muy buen comportamiento.

La definición del límite topológico tiene sentido solo para subespacios, pero se conserva mediante homeomorfismos: si$f:X\to Y$es un homeomorfismo, entonces$f(\partial(A))=\partial(f(A))$para cada$A\subset X$, por lo que es natural. Dependerá ahora de lo que entiendas por intrínseco .

Aquí hay una prueba elemental usando solo propiedades del grupo fundamental. déjame usar$\overline H$para el semiplano superior cerrado, y$\overset{\circ}D$para el abierto de 2 discos.

Dada una 2-variedad con límite$X$y un punto$x \in X$, se cumple lo siguiente:

Punto interior: Existe un barrio$U \subset X$de$x$y un homeomorfismo$U \to \overset{\circ}D$si y solo si$x$tiene una base vecinal en$X$de la forma$U_1 \supset U_2 \supset \cdots$tales que existen homeomorfismos$U_i \to \overset{\circ}D$, y tal que cada uno de los mapas de inclusión$U_i - \{x\} \to U_{i-1}-\{x\}$es homotópicamente no trivial (prueba de la dirección "solo si": define$U_i$ser la imagen inversa bajo el homeomorfismo$U \to \overset{\circ}D$del disco abierto de radio$1/i$).

Punto límite: existe un barrio$V \subset X$de$x$y un homeomorfismo$(V,x) \to (\overline H,0)$si y solo si$x$tiene una base vecinal en$X$de la forma$V_1 \subset V_2 \subset \cdots$para los cuales existen homeomorfismos$(V_i,x) \to (\overline H,0)$(prueba de la dirección "solo si": definir$V_j$ser la intersección con$\overline H$del disco abierto de radio$1/j$). Tenga en cuenta que cada conjunto$V_j - \{x\}$simplemente está conectado.

De la definición de un 2-variedad con límite, para cada$x \in X$sabemos que al menos una de estas dos propiedades se cumple.

Así que solo tenemos que demostrar que es imposible que ambos aguanten.

Supongamos que es posible.

Dejar$U_{i_1}$ser uno de los elementos básicos de la vecindad del punto interior.

Dejar$V_j \subset U_{i_1}$ser un elemento base de vecindad de punto límite.

Dejar$U_{i_2} \subset V_j$sea ​​un elemento base de vecindad de punto interior.

Considere la composición de los dos mapas de inyección.

En mi clase de topología, este es uno de los primeros ejemplos que uso para enfatizar que el concepto de "invariante topológica" es más que una propiedad que es invariante bajo homeomorfismos: una invariante topológica es un funtor.

Solo estoy tratando de responder a mi propia pregunta recopilando varias ideas en los comentarios. ¡Gracias a todos ustedes!

Proposición : Los discos abiertos y los medios discos (abiertos en el arco y cerrados en el diámetro) no son homeomorfos.

Prueba. (Aún no muy riguroso...): Supongamos que hay un homeomorfismo$h:D_1\to D_2$entre un disco y medio disco. Considere un punto$p$en el diámetro del medio disco$D_2$. Entonces$h|_{D_1-\{h^{-1}(p)\}}:{D_1-\{h^{-1}(p)}\}\to D_2-\{p\}$sigue siendo un homeomorfismo. Desde${D_1-\{h^{-1}(p)\}}$no está simplemente conectado, sino$D_2-\{p\}$Es decir, esto es una contradicción.$\blacksquare$

Esto nos permite dar la siguiente definición en la dimensión 2:

Definición: Dejar$X$Sea un espacio topológico. Nosotros decimos eso$X$es una superficie topológica si, para todo punto$p\in X$, hay un barrio abierto$N\ni p$y un homeomorfismo$h:N\to D$satisfaciendo una de las condiciones:

1. $D$es un disco abierto;
2. $D$es medio disco y$h(p)$pertenece al diámetro de la misma.

Por la proposición anterior, un punto$p\in X$no puede tener ambas propiedades simultáneamente. Entonces, una superficie topológica es un espacio topológico tal que cada punto es de tipo 1 o de tipo 2. Los de tipo 1 se denominan puntos interiores del espacio.$X$y los de tipo 2 son los puntos límite del espacio$X$.

Para dimensiones mayores, podemos usar abierto$n$-bolas y$n$-medias bolas (utilizamos grupos de mayor homología para mostrar que un abierto$n$-ball no es homeomorfo a un$n$-media bola).