Algunas pruebas en una conferencia que tomé estaban motivadas por esta afirmación de que "algunas personas no asumen la segunda contabilidad cuando definen una variedad topológica, pero para los grupos de Lie obtenemos esta propiedad de forma gratuita". Luego probaron la afirmación "si un grupo de Lie G tiene como máximo muchos componentes conectados contables, entonces G es el segundo contable" junto con otros resultados topológicos relacionados. Veo cómo, si asumimos la segunda contabilidad en nuestra definición de una variedad topológica, debemos tener como máximo muchos componentes contables conectados. Así que veo la declaración si y solo si, pero esto no es lo mismo que decir que cada grupo de Lie es el segundo contable.
Entonces, mi pregunta es si no incluimos la segunda contabilidad en nuestra definición de una variedad topológica, ¿podemos mostrar que cada grupo de Lie tiene como máximo muchos componentes conectados contablemente? Si no, ¿hay algún ejemplo de un grupo de Lie que esta definición admita que se excluya cuando asumimos que las variedades topológicas son contables en segundo lugar?
Llevar , donde la primera tiene su estructura habitual como una variedad diferenciable, mientras que la segunda está dotada de la topología discreta. No es segundo contable y tiene incontables muchos componentes conectados (los subconjuntos de la forma ).
En tal situación hay un grupo de Lie para cualquier número (cardinal) de componentes y para cualquier dimensión. Simplemente tome cualquier grupo con topología discreta. Es un grupo de Lie de dimensión y tiene tantas componentes como su cardinalidad. Para obtener una dimensión más alta, simplemente tome el producto del grupo de Lie anterior con su grupo de Lie favorito de dimensión positiva (por ejemplo, ).
moishe kohan