¿Cuál es la distancia adecuada desde el horizonte de sucesos hasta la singularidad?

¿Qué tan lejos está el horizonte de eventos de un agujero negro (Schwarzschild) de la singularidad central para un observador que cae radialmente y comienza con v = 0 en algún lugar fuera del agujero negro? Después de cruzar el horizonte de eventos, dicho observador golpea la singularidad en un tiempo finito, por lo tanto, dicho observador también asignaría una distancia finita desde el horizonte a la singularidad.

"Cruzar el horizonte" significará que el observador se mueve desde el exterior del agujero negro (hay líneas de universo futuras, incluidas las no radiales y las que no caen libremente, que/no/tocan la singularidad) hacia el interior del agujero negro (todas las líneas del mundo futuro golpean la singularidad).

El radio de un agujero negro se define de la siguiente manera: Tome una pelota B en un espacio plano (euclidiano) que tiene la misma superficie que el horizonte de sucesos del agujero negro. Entonces el radio de Schwarzschild del agujero negro se define como el radio de B .

Supongo que el radio de Schwarzschild así definido no es el mismo (¿más pequeño ? ) METRO del agujero negro?

[EDITAR]: Aclarado que es para un observador de caída libre.

El "duplicado" vinculado tiene un cálculo fuera del horizonte de eventos y utiliza coordenadas de Schwarzschild. Por lo tanto, está respondiendo a una pregunta diferente; y las coordenadas de Schwarzschild utilizadas allí dan un elemento de línea imaginaria para las coordenadas dentro del horizonte de eventos.
Es la misma ecuación, solo cambia los límites.
¿Entonces uno puede integrar sobre los números complejos, y el cociente de la parte imaginaria de la integral y el radio de Schwarzschild es la solución?
Hmm, está bien, el cálculo es diferente dentro del horizonte de eventos. OK, voy a reabrir la pregunta.
Creo que te refieres al momento adecuado. estoy bastante seguro de que es π METRO para descenso radial.
Para un observador en caída libre (con velocidad de escape negativa) es 2GM/c², pero en el marco de un tenedor de libros estacionario externo es iπGM/c², y si comienzas en reposo desde una distancia infinitesimal sobre el horizonte es πGM/c² , consulte physics.stackexchange.com/questions/524731/…
Lo que quise decir es que cuando un observador en caída libre entra en un agujero negro, alcanza la singularidad en un tiempo finito. Por lo tanto, debería tener sentido que ese observador asigne una distancia desde donde ingresa al agujero negro a la singularidad. "dentro" del agujero significará que todas las líneas futuras del mundo (también no radiales o sin caída libre) terminan en la singularidad, "afuera" es donde hay líneas futuras del mundo que no tocan la singularidad. Un parámetro libre sería su velocidad (a cualquier referencia), y la masa del agujero negro sería otro parámetro.
@emacsdrivesmenuts Sus preguntas son un poco como preguntar "¿Cuál es la distancia desde donde estoy sentado en este momento hasta la medianoche?" Seguramente llegaré a la medianoche en un tiempo finito, entonces, ¿cuál es la distancia desde aquí hasta entonces?
@MBM: Es más bien comoWhat's the (perceived) distance from the surface of the earth to the center of the earth?
@emacsdrivesmenuts No, no lo es. Ese es el punto. La analogía de una esfera en el espacio euclidiano es engañosa. Los agujeros negros no son nada de eso.
¿Pero debe haber algo así como espacio en un agujero negro? Para un observador que cae, no sucede nada especial en el horizonte de eventos, excepto que ya no puede escapar. Todavía hay espacio y distancias y volumen. ¿O estás diciendo que el espacio no existe en un agujero negro? Por supuesto, el espacio no es euclidiano... pero lo que estás diciendo es que ya no tiene sentido hablar de distancias.
(1) Si aceptamos temporalmente que para un observador que cae nada especial sucede en el horizonte de eventos, eso no significa que el observador no ingrese a otro marco de referencia. Puede haber desunión entre el exterior y el interior del EH. Bien, dice distancia solo desde el interior de EH a la singularidad, pero la coordenada de inicio interior cae a la misma velocidad que cualquier observador. Esta página de preguntas está repleta de información adecuada, pero parece que no asimilaste nada de ella. Si quieres persistir en tu propia forma de pensar, ¿por qué no calculas el área de superficie del
(2) Event Horizon y calcula la distancia al centro de una esfera en longitudes de Planck.

Respuestas (3)

Te refieres a la "singularidad central", pero la singularidad de un agujero negro de Schwarzschild no es un punto en el centro del horizonte de eventos. Es una superficie similar al espacio que está en el futuro de todos los observadores. Tampoco es un punto. Consulte ¿La singularidad de un agujero negro es un solo punto? .

La pregunta que haces no tiene una respuesta significativa. Desde un punto en el horizonte, puede dibujar una geodésica nula que interseca la singularidad y su longitud métrica es cero. También puede dibujar una geodésica temporal, en cuyo caso la longitud métrica será (para la firma +---), un número real positivo de orden M en unidades geometrizadas. También puede dibujar una curva espacial cuya longitud en esta métrica sea un número imaginario.

Te refieres a la "distancia adecuada", pero eso no logra resolver esta ambigüedad. La distancia adecuada es la distancia definida por una regla en reposo en relación con la cosa que se mide. Dentro del horizonte, no podemos tener una regla en reposo. El espacio-tiempo dentro del horizonte no es estático.

Por supuesto, es estático, ¿o alguno de los términos del tensor métrico depende de t o τ? Diría que no, incluso en las coordenadas de Raindrop o Finkelstein, consulte en.wikipedia.org/wiki/Static_spacetime : la pregunta tiene una respuesta significativa, es la que rechazó en physics.stackexchange.com/questions/524731/ …
@Yukterez: No, eso es incorrecto. Véase, por ejemplo, Misner, Thorne y Wheeler, pág. 838. La estaticidad no se define de forma dependiente de las coordenadas, se define en términos de un vector Killing similar al tiempo. El vector Killing es como un espacio dentro del horizonte.
¿Por qué esta respuesta es rechazada?
@safesphere: la singularidad de Schwarzschild no es una superficie, sino una línea euclidiana de coordenadas eliminada de la variedad. Hemos discutido esto anteriormente en los comentarios. Como expliqué anteriormente, hay un conjunto de definiciones especializadas que nos permiten usar términos como "espacial" y "superficie" para discutir singularidades. Esta respuesta describe estos términos con más detalle y hace referencia a un artículo de Penrose sobre este tema: physics.stackexchange.com/a/60903/4552
Estoy de acuerdo con su primer párrafo, pero tengo algunas objeciones con sus dos últimos: (a) el tiempo adecuado transcurrido entre el horizonte y la singularidad es solo de orden METRO si "pasas lentamente por el horizonte", pero si d r / d τ ≪ 0 entonces el tiempo propio transcurrido puede ser arbitrariamente corto. (b) Su definición de "distancia adecuada" se aplica en la relatividad especial, pero en GR es estándar definir la distancia adecuada a lo largo de un camino espacial arbitrario para ser simplemente ∫ PAG − d X ⋅ d X .
Como dice safesphere, no es necesario que el espacio-tiempo sea estático (aunque estoy de acuerdo contigo en que la primera parte de su comentario es incorrecta).

En GR, la distancia adecuada es una propiedad de las curvas que conectan dos puntos, no de los puntos en sí mismos. Si dos puntos están causalmente desconectados, entonces puede definir una "distancia" entre ellos como la distancia mínima adecuada sobre todas las curvas espaciales que los conectan (que necesariamente será alcanzada por una geodésica espacial).

Pero esto realmente no funciona para una singularidad de agujero negro. Como dice Ben Crowell, una singularidad (curvatura) no es en realidad parte de la variedad de espacio-tiempo, por lo que en realidad no tiene una topología bien definida, una dimensión, etc., pero en algunas situaciones (incluida esta) es mejor pensar en como "como" una hipersuperficie similar al espacio. Hay curvas de tipo temporal, de luz y de tipo espacial que conectan cualquier punto en el horizonte con diferentes "puntos" "en" la hipersuperficie del horizonte de eventos, y las curvas de tipo espacial tienen todas las distancias adecuadas positivas, sin importar cuán grandes o pequeñas sean. Dado que las distancias adecuadas se vuelven arbitrariamente pequeñas, supongo que podría decir que, en cierto sentido, la "distancia" entre el horizonte de eventos y la singularidad es cero, pero esta no es realmente una forma útil de pensar en ello.

Si la singularidad no se puede usar directamente, ¿entonces uno podría usar un punto cercano y tomar el límite?
@emacsdrivesmenuts No veo qué lograría eso: ya tiene curvas espaciales con todas las longitudes posibles; ¿Qué más información podría darte tomar un límite?

La distancia adecuada se define a lo largo de un camino similar al espacio entre dos eventos en el espacio-tiempo:

L = C ∫ PAG − gramo m v d X m d X v

Sin embargo, la singularidad de Schwarzschild no es un evento. es un momento en el tiempo r = 0 ( r es temporal dentro del horizonte) que sucede en todas partes en el espacio − ∞ < t < + ∞ ( t es como un espacio dentro del hirizon). Por lo tanto, puede decir que geométricamente la singularidad de Schwarzschild es una línea singular ( r = 0 , − ∞ < t < + ∞ ) eliminado de la variedad de espacio-tiempo. Ver: ¿ La singularidad de schwarzschild se estira en el espacio como una línea recta?

Sin embargo, esta línea es infinitamente larga en el espacio. t coordinar. Por lo tanto, puede elegir un evento asintóticamente cercano a la singularidad de tal manera que estaría arbitrariamente lejos en la distancia adecuada de cualquier evento que elija asintóticamente cerca del horizonte.

En consecuencia, la respuesta a su pregunta es que la distancia adecuada entre el horizonte y la singularidad de Schwarzschild no está definida de manera única. Puede ser cualquier cosa, desde cero a lo largo de un camino similar a la luz de un polvo nulo hasta arbitrariamente grande, porque la futura eternidad temporal del universo se traduce en un infinito similar al espacio dentro de un agujero negro de Schwarzschild.

Sin embargo, esta línea es infinitamente larga en la coordenada t similar al espacio. Esta es una declaración sin ningún significado físico, porque la métrica se rompe en la singularidad. Ver physics.stackexchange.com/questions/144447/…
Por lo tanto, puede decir que, geométricamente, la singularidad de Schwarzschild es una línea singular (r=0,−∞<t<+∞) eliminada de la variedad de espacio-tiempo. Esto me suena mal. La topología del espacio-tiempo de Schwarzschild es R 2 × S 2 , que puedes ver basado en el diagrama de Penrose (que omite el S 2 ). Véase, por ejemplo, arxiv.org/abs/1111.5790 o MTW, p. 837, figura 31.5a. No creo que esto sea lo mismo que R 4 con una línea eliminada, ¿verdad? Podría estar equivocado, pero creo que eso no está simplemente conectado, mientras que R 2 × S 2 simplemente está conectado.
En consecuencia, la respuesta a su pregunta es que la distancia adecuada entre el horizonte y la singularidad de Schwarzschild no está definida de manera única. Puede ser cualquier cosa desde cero a lo largo de un camino temporal de caída libre. Esto no tiene sentido. La métrica integrada a lo largo de una ruta temporal no es cero, es real o imaginaria, según la firma que elija.
@BenCrowell Gracias por detectar mi error tipográfico. He editado para cambiar el tiempo a la luz para el polvo nulo (por ejemplo, neutrinos, aproximadamente, por supuesto). La distancia adecuada no puede ser imaginaria, porque se mide a lo largo de intervalos similares al espacio (y ligeramente similares a la luz, como en el caso de los neutrinos). El equivalente de la distancia propia medida a lo largo de intervalos temporales es el tiempo propio. Tus otros comentarios están equivocados, por supuesto. Sus errores al visualizar la geometría y la singularidad de Schwarzschild han sido señalados una y otra vez por Lubos, por mí mismo y por otros. Ponte al día antes de criticar a los demás :)
"El equivalente de la distancia adecuada medida a lo largo de intervalos temporales es el tiempo adecuado". - El tiempo propio multiplicado por c es la distancia de cuatro, no la distancia espacial. La distancia espacial en el marco de un observador que viaja desde r 1 a r 2 es d = ∫ r 1 r 2 − gramo r r 1 − v 2 d r . En Raindrop coordina el v es relativo a las gotas de lluvia que caen libremente, y en Droste se coordina en relación con los observadores estacionarios, que son fotones en el horizonte y taquiones detrás del horizonte (los taquiones no necesitan existir físicamente, pero podemos usarlos matemáticamente)
Lo siento, mi comentario editado ahora está debajo de tu respuesta, la contradicción es que parece que te refieres a las 3 distancias espaciales mientras que te refieres a las 4 distancias.
No, no me refiero a la distancia espacial. Esto es lo que quise decir: " La distancia adecuada es análoga al tiempo adecuado. La diferencia es que la distancia adecuada se define entre dos eventos separados en forma de espacio (o a lo largo de un camino similar al espacio), mientras que el tiempo adecuado se define entre dos eventos separados en forma de tiempo (o a lo largo de un camino temporal) - en.wikipedia.org/wiki/Proper_length
Yo no lo llamaría una línea. Para r = 0 y t , φ , θ arbitraria es una hipersuperficie tridimensional. Por supuesto, no es parte de la variedad, por lo que, para empezar, todo esto es muy impreciso, pero definitivamente no es una línea.
Pero cuando tienes coordenadas polares ( r , ϕ , θ ) , entonces estas coordenadas tienen una singularidad en r = 0 : No necesita 3 coordenadas para especificar el punto en el centro, r = 0 es suficiente.
Muy buena respuesta. ¿Puede mirar mi pregunta: physics.stackexchange.com/questions/709609/…
@MBN " Para 𝑟=0 y 𝑡,𝜑,𝜃 arbitrario es una hipersuperficie tridimensional " - Hace casi 3 años, pero sigue siendo incorrecto. Vea la respuesta aceptada a la pregunta de matemáticas vinculada en mi respuesta. En 4D, r=0 es una recta euclidiana ordinaria. (Ese usuario ya no está, pero era un profesor de matemáticas con más de 100.000 de reputación). Sin embargo, tenga en cuenta que el concepto de "línea" en geometría no está definido, pero se basa en la intuición subjetiva. Entonces eres libre de interpretar una línea en 4D como “una hipersuperficie infinitamente delgada”, pero esto no sería una definición ni haría de una línea otra cosa, sino una línea.
@MBN También para mayor claridad, r = 0 es una línea en el espacio de coordenadas afines, pero no en la variedad (espacio-tiempo). Se retira del colector. Estas coordenadas no apuntan a ninguna ubicación que exista en el colector. El significado aquí es similar a cuando decimos que el infinito no es un punto en ninguna parte de la recta numérica. Entonces, la singularidad de Schwarzschild son las coordenadas de una línea donde el espacio se reduce a nada, el tiempo termina, por lo que el espacio-tiempo desaparece y no existe a lo largo de esta línea de coordenadas. Consulte math.stackexchange.com/questions/3522181
¿Cuál es la distancia adecuada desde el horizonte de sucesos hasta la singularidad?
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