¿La singularidad de un agujero negro es un solo punto?

Necesidad de una definición independiente de las coordenadas

múltiples coordenadas pueden referirse a un solo punto

Normalmente, la forma en que definimos este tipo de cosas en GR es que tenemos un atlas , y el atlas está hecho de gráficos. Se requiere que cada gráfico sea invertible, por lo que no, no podemos tener múltiples coordenadas que se refieran a un solo punto. En cualquier caso, cuando definimos la dimensionalidad en un espacio topológico, lo hacemos de forma independiente de las coordenadas. Por ejemplo, se puede utilizar la dimensión de cobertura de Lebesgue .

Una singularidad en la métrica versus una singularidad en un fondo métrico bien definido

Supongamos que tengo un espacio bidimensional con coordenadas$(u, v )$, y te pregunto si$S = \{(u, v )|v = 0\}$es un punto o una curva, mientras me niego a divulgar qué métrica tengo en mente. probablemente dirías$S$era una curva, y si la métrica era$ds ^2 = du ^2 +dv ^2$, tendrías razón. Por otro lado, si la métrica fuera$ds ^2 = v^2du ^2 +dv ^2$,$S$sería un punto. Este fue un ejemplo en el que había dos métricas posibles que podíamos imaginar. En una singularidad, es aún peor. No hay métrica posible que podamos extender a la singularidad.

Hawking y Ellis tienen una buena discusión en este sentido, incluyendo un ejemplo similar al anterior, en la sección 8.3, "La descripción de las singularidades", p. 276:

[Los teoremas de singularidad] prueban la ocurrencia de singularidades en una gran clase de soluciones, pero brindan poca información sobre su naturaleza. Para investigar esto con más detalle, sería necesario definir qué se entiende por tamaño, forma, ubicación, etc., de una singularidad. Esto sería bastante fácil si los puntos singulares estuvieran incluidos en la variedad de espacio-tiempo. Sin embargo, sería imposible determinar la estructura múltiple en tales puntos mediante mediciones físicas. De hecho, habría muchas estructuras múltiples que coincidían para las regiones no singulares pero que diferían para los puntos singulares.

Después de presentar el ejemplo, dicen:

En el primer caso la singularidad sería una triple superficie, en el segundo caso un solo punto.

No es un punto o un conjunto de puntos.

Entonces, ¿la singularidad es solo un punto en el espacio-tiempo curvo, o puede ser un objeto más extenso, descrito por una sola coordenada?

Bueno, técnicamente no es nada de lo anterior. Una singularidad en GR es como una pieza que ha sido cortada de la variedad. No es un punto o un conjunto de puntos en absoluto. Debido a esto, los tratamientos formales de singularidades tienen que hacer muchas cosas no triviales para definir cosas que serían triviales de definir para un conjunto de puntos. Por ejemplo, la definición formal de una singularidad temporal es complicada porque tiene que escribirse en términos de conos de luz de puntos cercanos .

Las construcciones de límites no proporcionan una respuesta.

Hay algunas heurísticas posibles que podría usar para describir la singularidad como si fuera un conjunto de puntos y hablar sobre su dimensionalidad como si fuera un conjunto de puntos. Puedes dibujar un diagrama de Penrose . En un diagrama de Penrose, una línea horizontal representa una superficie tridimensional similar a un espacio, con una dimensión que se muestra explícitamente en el diagrama y las otras dos porque la simetría rotacional está implícita. Si observa el diagrama de Penrose para un agujero negro de Schwarzschild, la singularidad parece una línea horizontal. No es un conjunto de puntos, pero si lo fuera, sería claramente como un espacio, y parecería que sería una superficie de 3. Esto es muy diferente de lo que la mayoría de la gente probablemente imaginaría, que sería una curva temporal unidimensional, como la línea de universo de un electrón.

Si intenta desarrollar esta heurística en algo más riguroso, básicamente no funciona. Este programa se conoce como "construcciones de límites". Hay reseñas disponibles sobre este tema (Ashley, García-Parrado). Hay una serie de técnicas más o menos específicas para construir un límite, con una sopa de letras de nombres que incluyen el límite g, el límite c, el límite b y el límite a. Como alguien que no es especialista en este subcampo, la impresión que tengo es que esta es un área de investigación que ha salido mal y nunca ha dado resultados útiles, pero el trabajo continúa, y es posible que en algún momento el humo se aclarará. Como un ejemplo simple de lo que a uno le gustaría obtener, pero no obtiene, de estos estudios, parecería natural preguntarse cuántas dimensiones hay en una singularidad de agujero negro de Schwarzschild. Diferentes respuestas regresan de los diferentes métodos. Por ejemplo, el enfoque del límite b dice que tanto el agujero negro como las singularidades cosmológicas son puntos de dimensión cero, mientras que en el método del límite c (que fue diseñado para armonizar con los diagramas de Penrose) son tres superficies (como uno podría imaginar). de los diagramas de Penrose).

Puede depender del tipo de agujero negro.

La gente ha estudiado GR en más de 3+1 dimensiones y, por ejemplo, en 4+1 dimensiones puedes obtener cosas como "anillos negros". Si observa cómo se describen realmente en la literatura, a las personas les parece más conveniente hablar sobre la topología del horizonte, en lugar de la dimensionalidad de la singularidad: http://relativity.livingreviews.org/Articles/lrr -2008-6/texto completo.html . Presumiblemente, esto se debe a que el formalismo no es adecuado para hablar sobre la dimensionalidad de la singularidad.

Otro ejemplo es la métrica de Kerr para un agujero negro en rotación. La singularidad se describe comúnmente como un anillo. Pero en este artículo de revisión, hay una discusión sobre la singularidad en la p. 8 y de nuevo en la pág. 28. En ambos anuncios, hay comillas sobre "anillo". Nuevamente, creo que esto se debe a que realmente no podemos responder preguntas geométricas sobre la singularidad, porque no es un conjunto de puntos y, por lo tanto, no se puede decir cómo se ve la métrica allí.

Un criterio de singularidad de curvatura fuerte no proporciona una respuesta

Otro enfoque es observar qué sucede con la materia que entra en la formación de un agujero negro a través del colapso gravitacional, o con una nube hipotética de partículas de prueba que cae en un agujero negro eterno. Si la materia se tritura hasta el volumen cero, entonces podría tener sentido interpretar esto como evidencia de que se debe pensar que la singularidad tiene un volumen cero.

Desafortunadamente, esto tampoco necesariamente da una respuesta definitiva. Uno puede definir algo llamado singularidad de curvatura fuerte (scs), definido como uno para el cual una geodésica está incompleta en el parámetro afín$\lambda=0$, con$\lim_{\lambda\rightarrow0}\lambda^2R_{ab}v^av^b\ne0$, dónde$v^a$es el vector tangente. El volumen de una nube de partículas de prueba llega a cero a medida que se acerca a tal singularidad, la interpretación es que la materia que cae es triturada, no solo espaguetizada. La singularidad de un espaciotiempo de Schwarzschild no es un scs, porque es un espaciotiempo vacío, por lo que el tensor de Ricci se desvanece. Es decir, solo hay espaguetización, no aplastamiento. Una nube de partículas de prueba mantiene un volumen exactamente constante a medida que cae.

Sin embargo, posiblemente podría existir una situación completamente diferente durante el colapso que condujo a la formación de un agujero negro astrofísico. Durante el colapso, está presente la materia que cae, por lo que el tensor de Ricci no necesita desaparecer. De hecho, parece que en algunos modelos bastante realistas de colapso gravitacional, la singularidad, durante el período de colapso , es una singularidad temporal (localmente desnuda) (Joshi), lo que significa que es completamente diferente en carácter de la singularidad espacial de un eterno. agujero negro como un agujero negro de Schwarzschild. Parece que en tales cálculos, la densidad de la materia explota en la singularidad, lo que sugiere que puede ser un scs durante la formación.

Dificultades en el caso del espacio-tiempo de Schwarzschild

Cuando pensamos en un agujero negro, normalmente imaginamos por defecto el tipo de agujero negro eterno descrito por el espacio-tiempo de Schwarzschild. Algunas dificultades significativas ocurren incluso en este caso lo más simple posible. Como se señaló anteriormente, la singularidad puede tener un carácter completamente diferente a la singularidad que ocurre durante el colapso gravitacional de un agujero negro astrofísico, y esto lleva a sospechar que al considerar el caso de Schwarzschild, estamos omitiendo consideraciones esenciales.

Además, tenemos el teorema sin cabello, que establece que para un espacio-tiempo de electrovacío estacionario que tiene un horizonte de eventos, solo hay una clase de soluciones, que pueden ser parametrizadas por tres variables: masa, carga y momento angular. Esto define un sentido claro en el que la singularidad de un agujero negro estacionario no tiene propiedades físicas. Si tuviera tales propiedades, tendrían que limitarse a la lista de tres propiedades descritas por el teorema de no tener cabello. Sin embargo, estas no son propiedades de la singularidad, sino propiedades de una gran región del espacio-tiempo medida por un observador distante, que ni siquiera puede decir si la singularidad existe "ahora". (De hecho, puede parecerle a tal observador que la materia que cae toma un tiempo infinito para atravesar el horizonte).

Las posibilidades de una respuesta más definitiva podrían ser mejores en el caso de una singularidad desnuda. Tal singularidad puede existir tanto en el cono de luz pasado como en el cono de luz futuro de un observador, por lo que uno puede imaginarse haciendo experimentos con él y encontrando los resultados. En este sentido, es más probable que tenga propiedades medibles.

Referencias

Ashley, "Teoremas de singularidad y construcción de límites abstractos", https://digitalcollections.anu.edu.au/handle/1885/46055

García-Parrado y Senovilla, "Estructuras causales y límites causales", http://arxiv.org/abs/gr-qc/0501069

Joshi y Malafarina, "Todos los agujeros negros en el polvo no homogéneo de Lemaitre-Tolman-Bondi colapsan", https://arxiv.org/abs/1405.1146

¿Es la singularidad del agujero negro un solo punto?

La relatividad general [(GR o GTR)] expresada en términos de geometría diferencial [espacio euclidiano tridimensional ] ... le permite hacer cosas interesantes con las coordenadas: múltiples coordenadas pueden referirse a un solo punto.

EG: La proyección equirrectangular tiene una línea entera arriba y abajo que corresponden a los polos Norte y Sur; o una sola coordenada puede referirse a múltiples puntos, por ejemplo, al usar geometría inversa, el origen se refiere a todos los puntos infinitamente lejanos.

La aparente singularidad de coordenadas (longitudinales) en los 90 grados de latitud en coordenadas esféricas es un artefacto del sistema de coordenadas elegido, que es singular en los polos. Un sistema de coordenadas diferente eliminaría la aparente discontinuidad, por ejemplo, reemplazando la representación de latitud/longitud con una representación de n vectores .

Un objeto esférico como la Tierra, o un agujero negro que gira, se convierte en un esferoide achatado debido a su rotación. Mapear un esferoide achatado a una proyección equirrectangular resultará en distorsión .

Véase también " Transformaciones de un esferoide achatado a un plano y viceversa del JPL : Las ecuaciones utilizadas en el programa de proyección cartográfica MAP2 ".

La gravedad alrededor de un agujero negro es tan poderosa que afecta tanto el espacio como el tiempo, por esa razón se usa una métrica (para usar su palabra, proyección de mapa) para describir el espacio, y no la geometría diferencial euclidiana. Para tener en cuenta la gravedad, los físicos utilizan la teoría de la relatividad general, que se formula en las matemáticas de una geometría no euclidiana .

Algunos artículos que discuten estos cálculos son:

• " Un nuevo método para construir soluciones de agujeros negros en Einstein y 5D Gravity ", Sergiu I. Vacaru 28 de octubre de 2001

• " Elipsoidal Black Hole - Black Tori Systems in 4D Gravity ", Sergiu I. Vacaru, 19 de noviembre de 2001

• " Un agujero negro proyectado sobre un fondo no conmutativo " por Manasse R. Mbonye 5 de agosto de 2010.

Otra lectura:

• " Los molestos límites nulos ", por Piotr T. Chruściel, Paul Klinger, 18 de enero de 2018

Está haciendo un mal uso de la compactación para obtener una comprensión de un tema complicado, esto solo está bien si no quiere dedicar mucho tiempo a aprender un tema difícil y solo desea una comprensión rudimentaria .

Entonces, ¿la singularidad es solo un punto en el espacio-tiempo curvo, o puede ser un objeto más extenso, descrito por una sola coordenada?

Un solo punto es similar a una partícula puntual , una partícula sin masa de tamaño cero; un número infinito de ellos pesaría:$\infty \times 0$. Sin peso no habría gravedad y sin gravedad no habría agujero negro.

Incluso las partículas de tamaño cero pueden tener límites mal definidos , y muchas agrupadas hacen un análisis y una estimación exactos del centro; con el fin de proporcionar una ubicación, una tarea difícil. Debido a su dimensión cero, muchos pueden ocupar el mismo lugar, cruzarse entre sí, o separarse minuciosamente creando un objeto extenso.

Un agujero negro, por otro lado, tiene masa, lo que significa tamaño, y aunque tampoco podemos verlos, su tamaño mínimo es mucho mayor que una partícula puntual. Son una singularidad (no tienen tamaño) en el sentido de que son tan masivos que han deformado el espacio en su vecindad hasta un punto, al igual que un espejo de la casa de la diversión puede hacerte una forma diferente, pero tu verdadera forma y tamaño permanecen sin cambios. .

En principio, un agujero negro puede tener cualquier masa igual o superior a la masa de Planck (alrededor de 22 microgramos) . Para hacer un agujero negro, uno debe concentrar masa o energía lo suficiente como para que la velocidad de escape de la región en la que se concentra exceda la velocidad de la luz.

En referencia a su masa, Manasse Mbonye, ​​en "Un agujero negro proyectado sobre un fondo no conmutativo" (enlace arriba), dice esto:

"Observando que el espectro de masas del agujero negro cubre un gran espacio de parámetros, con una estimación conservadora de ~42 órdenes de magnitud (desde, digamos, un agujero negro primordial de 1 g hasta uno de 10$^{42}$g), esto sugiere un espectro igualmente grande en la densidad del agujero negro central. Por lo tanto, en teoría, la función de densidad podría tomar cualquier valor, ya que ni la teoría ni la observación establecen un límite superior estricto para la masa del agujero negro, todavía".

Antes de sugerir que se pueden comprimir 22 microgramos para crear una singularidad física (no una gravimétrica), un punto de dimensión cero, considere qué tan grande es en comparación con una partícula puntual.

Las partículas puntuales pueden y pasan a través de ti todo el tiempo. Si inhalaras 22 microgramos de toxina botulínica tipo H sería suficiente para matarte (1692 / tu peso en kg) veces.

Una pequeña cantidad de masa es mucho más grande que un punto y también lo es un agujero negro. Los agujeros negros solo ocupan una pequeña cantidad de espacio porque (doblan) comprimen el área a dimensiones diminutas. El espacio que rodea una masa tan grande (a menudo más de 10 veces la masa de nuestro Sol) que ocupa un área tan pequeña es un punto (una singularidad). Un agujero negro no tendría una dimensión del tamaño de un punto si su gravedad pudiera apagarse, si ocupara un área significativamente más grande (densidad reducida) o si su masa (peso) se redujera enormemente.