Radio de la estrella, la métrica de Schwarzschild y los agujeros negros

Dejar$R_{ab}(x)$sea ​​el tensor de Ricci en un punto$x$en el espacio-tiempo, deja$T^{ab}(x)$Sea el tensor esfuerzo-energía, y sea$D$denote el número de dimensiones del espacio-tiempo (por lo que$D=4$en el mundo real). Entonces para$D\neq 2$, la ecuación de campo de Einstein implica

$$\text{$R_{ab}(x)=0$ if and only if $T_{ab}(x)=0$} \tag{0}$$ en cada punto$x$. Para deducir esto, utilice la ecuación de campo de Einstein $$R_{ab}-\frac{1}{2}g_{ab}g^{cd}R_{cd}\propto T_{ab} \tag{1}$$ junto con el hecho de que la misma ecuación también se puede escribir $$R_{ab}\propto T_{ab}-\frac{1}{D-2}g_{ab}g^{cd}T_{cd} \tag{2}$$ dónde$g_{ab}$es el tensor métrico, con la convención de suma habitual para índices repetidos. La ecuación (2) puede deducirse de (1) contrayendo ambos lados de (1) con$g^{ab}$, usando el resultado para escribir el escalar de Ricci$g^{ab}R_{ab}$en cuanto a la huella$g^{ab}T_{ab}$del tensor tensión-energía, y luego sustituyendo esta expresión por$g^{ab}R_{ab}$volver a (1). La ecuación (1) dice que la condición$R_{ab}=0$implica$T_{ab}=0$, y la ecuación (2) dice que la condición$T_{ab}=0$implica$R_{ab}=0$, como se afirma. En palabras:

• El tensor de Ricci debe ser cero en regiones de vacío, como el exterior de una estrella idealizada. (Pero el tensor de curvatura$R_{abcd}$todavía puede ser distinto de cero donde$T_{ab}=0$.)

• Dentro de la estrella, donde tenemos un no vacío ($T_{ab}\neq 0$), el tensor de Ricci también debe ser distinto de cero.

1) ¿Cuál es la conexión con el tensor de Ricci aquí y por qué significa que la solución de Schwarzschild no es válida allí?

La solución que más a menudo se denomina simplemente solución de Schwarzschild es una solución que tiene$R_{ab}=0$en todas partes (porque$T_{ab}=0$en todas partes) excepto en la singularidad. Describe un agujero negro. Gracias al teorema de Birkhoff [1], esta solución también se aplica fuera de cualquier distribución de materia esféricamente simétrica y no giratoria, como una estrella idealizada, donde$T_{ab}=0$. Sin embargo, no se aplica dentro de la estrella, porque$T_{ab}\neq 0$(y por lo tanto$R_{ab}\neq 0$) dentro de la estrella.

2) ¿Qué es una solución interior de Schwarzschild?

Una solución de Schwarzschild interior es una métrica que resuelve la ecuación de campo de Einstein dentro de una estrella y también coincide con la solución de Schwarzschild exterior habitual en el límite entre las regiones de vacío y no vacío. El ejemplo más simple de una solución de Schwarzschild interior es el que corresponde a tener una densidad constante en todo el interior de la estrella. Esto se describe en la sección 12.3 de [2] y en la sección 2 de [3]. La suposición de densidad constante no es realista, pero es relativamente simple matemáticamente y es lo suficientemente buena para responder las preguntas que se hacen aquí.

3) ¿Por qué aquí no sucede nada excepcional?

Para una estrella típica con masa$m$, el radio de la estrella es mucho mayor que el radio de Schwarzschild$2m$. (Para una estrella de neutrones, cambie "mucho mayor" por "un poco mayor".) No sucede nada especial en$r=2m$porque esto está bien dentro de la región donde$T_{ab}\neq 0$. El horizonte de eventos asociado con la solución habitual de Schwarzschild de espacio vacío no es relevante en este caso, porque la solución habitual de Schwarzschild de espacio vacío es válida solo en regiones donde$T_{ab}=0$. Para una estrella, tenemos una solución general diferente que solo coincide con la solución habitual de Schwarzschild de espacio vacío fuera de la estrella. En el interior, la métrica es diferente. No tiene horizonte de sucesos ni singularidad.

4) ¿Por qué nos importa que todo el cuerpo deba estar adentro?$2m$?

Para obtener un horizonte de eventos , necesitamos tener suficiente masa concentrada en menos de su radio de Schwarzschild. Una estrella típica no satisface esta condición; si lo hiciera, colapsaría y dejaría de ser una estrella.

Además de buscar con las palabras clave "solución interior de Schwarzschild", probablemente pueda encontrar más información buscando las palabras clave "teorema de Buchdal". Así es como encontré la referencia [3].

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Referencias:

[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Birkhoff%27s_theorem_(relatividad)

[2] Hobson, Efstathiou y Lasenby (2006), General Relativity: An Introduction for Physicists , Cambridge University Press

[3] Rezzolla, "Una introducción al colapso estelar de los agujeros negros", https://www.researchgate.net/publication/239533143_An_Introduction_to_Stellar_Collapse_to_Black_Holes