¿Por qué la métrica de Schwarzschild es igual a 0 para la luz en el horizonte de eventos?

Es cierto que hay geodésicas nulas que permanecen permanentemente en el horizonte de eventos, pero la derivación en el libro de texto es incorrecta. Las coordenadas de Schwarzschild no cubren el horizonte de eventos, por lo que no puede usarlas para analizar lo que sucede allí.$r=R_s$es, como dijiste, una singularidad coordinada; ni la luz ni ninguna otra cosa puede congelarse en el tiempo ni hacer nada más en$r=R_s$, porque en realidad no es una parte de la variedad.

La respuesta a esa otra pregunta ( enlace directo ) también es incorrecta: dice

Esta es una singularidad de coordenadas, y eso es lo que define el horizonte de eventos.

pero el horizonte de sucesos definitivamente no se define como el lugar donde hay una singularidad coordinada en algún sistema de coordenadas tonto creado por el hombre. El horizonte de sucesos es el límite entre la región desde la que se puede alcanzar el infinito futuro y la región desde la que no se puede, que es independiente de las coordenadas.

El problema de la singularidad de las coordenadas es peculiar de las coordenadas de Schwarzschild y no lo comparten otros gráficos de coordenadas populares para la geometría de Schwarzschild, como las coordenadas descendentes de Eddington-Finkelstein:

Si haces el mismo cálculo que en el libro de texto, configurando$r=R_s$,$ds=0$, y$dθ=d\phi=0$, encontrarás$dr/dt\in\{-c,0\}$, lo que indica que las geodésicas nulas salientes están "congeladas" en este radio, mientras que las geodésicas nulas entrantes lo atraviesan, como cabría esperar de una superficie unidireccional.$r=R_s$en las coordenadas de Eddington-Finkelstein es en realidad el horizonte de sucesos. (En las coordenadas de Schwarzschild, en su lugar obtienes$dr/dt\in\{0\}$, lo que implica que las geodésicas entrantes y salientes están congeladas y nunca se separan a pesar de que se están alejando entre sí a la velocidad de la luz, lo cual es otra señal de que hay algo mal con esas coordenadas).

Piense en el antiguo espacio-tiempo de Minkowski en dos dimensiones, con elemento de línea$ds= -c^2 dt^2 + dx^2$. Dado que la luz no tiene masa, su "tiempo propio" cuantificado por$ds$es simplemente cero. Si lo reemplazamos en el elemento de línea, obtenemos la ecuación$(\frac{dx}{dt})^2 = c^2$que te da la velocidad estándar de la luz.

Ahora, esto es exactamente lo que han hecho en el texto, a excepción de la métrica de Schwarzchild. Tenga en cuenta que la métrica en sí no está definida en el radio de Schwarzchild (al menos en estas coordenadas), pero la velocidad de la luz en coordenadas que obtiene al resolver para$\frac{dr}{dt}$en la ecuacion$ds=0$está bien definido allí, y se evalúa como cero.