Área del horizonte de eventos de Kerr-Newman

Question

Área del horizonte de eventos de Kerr-Newman

Física
agujeros negros
horizonte de eventos
tensor-métrico
sistemas coordinados
kerr-newman-metric

Alí Oz

Quiero calcular el área del horizonte de eventos para un agujero negro de Kerr-Newman usando las coordenadas de Boyer.

Busqué mucho en la web, pero no pude encontrar ninguna información sobre cómo calcular el radio del horizonte de eventos para Kerr Newman. ¿Alguien puede ayudarme a encontrar información o ayudarme a calcular?

usuario4552

¿La pregunta es sobre cómo calcular un radio o cómo calcular un área? Un radio no tendría sentido, ya que depende de las coordenadas.

Alí Oz

Sí, mi objetivo principal es el área.

Alí Oz

Creo que logré calcularlo. Si hay alguien que se pregunta cómo, puedo escribir la respuesta aquí.

G. Smith

Me gustaría ver cómo hiciste la integral.

StephenG - Ayuda Ucrania

Sería mejor proporcionar una respuesta si tiene una para que pueda cerrar la pregunta formalmente. Evitará que el sistema tenga otra pregunta abierta para siempre.

G. Smith

He hecho la integral y escribiré una respuesta.

G. Smith

En realidad, resulta que la integral es trivial. Al principio no me di cuenta de que el coeficiente del término coseno en la raíz cuadrada es cero en el horizonte de sucesos.

Respuestas (1)

Área del horizonte de eventos de Kerr-Newman

¿La pregunta es sobre cómo calcular un radio o cómo calcular un área? Un radio no tendría sentido, ya que depende de las coordenadas.
Creo que logré calcularlo. Si hay alguien que se pregunta cómo, puedo escribir la respuesta aquí.
Sería mejor proporcionar una respuesta si tiene una para que pueda cerrar la pregunta formalmente. Evitará que el sistema tenga otra pregunta abierta para siempre.
En realidad, resulta que la integral es trivial. Al principio no me di cuenta de que el coeficiente del término coseno en la raíz cuadrada es cero en el horizonte de sucesos.

G. Smith · Answer 1

En unidades geométrico-gaussianas con $G$ , $c$ , y $\frac{1}{4\pi\epsilon_0}$ igual a 1, la métrica de Kerr-Newman para un agujero negro de masa $M$ , momento angular $J=aM$ y carga $Q$ es

\begin{aligned} d s^{2} = & - (1 - \frac{2 METRO r - q^{2}}{r^{2} + a^{2} {porque}^{2} θ}) d t^{2} + \frac{r^{2} + a^{2} {porque}^{2} θ}{r^{2} - 2 METRO r + a^{2} + q^{2}} d r^{2} \\ + (r^{2} + a^{2} {porque}^{2} θ) d θ^{2} + (r^{2} + a^{2} + \frac{a^{2} (2 METRO r - q^{2}) {pecado}^{2} θ}{r^{2} + a^{2} {porque}^{2} θ}) {pecado}^{2} θ d ϕ^{2} \\ - \frac{2 a (2 METRO r - q^{2}) {pecado}^{2} θ}{r^{2} + a^{2} {porque}^{2} θ} d t d ϕ \end{aligned}

$\begin{align} ds^2= &-\left(1-\frac{2Mr-Q^2}{r^2+a^2\cos^2{\theta}}\right)dt^2 +\frac{r^2+a^2\cos^2{\theta}}{r^2-2Mr+a^2+Q^2}dr^2\\ &+(r^2+a^2\cos^2{\theta)}\,d\theta^2 +\left(r^2+a^2+\frac{a^2(2Mr-Q^2)\sin^2{\theta}}{r^2+a^2\cos^2{\theta}}\right)\sin^2{\theta}\,d\phi^2\\ &-\frac{2a(2Mr-Q^2)\sin^2{\theta}}{r^2+a^2\cos^2{\theta}}\,dt\,d\phi \end{align}$

en coordenadas de Boyer-Lindquist $(t,r,\theta,\phi)$ . (Cuando $Q$ es cero, esto se reduce a la forma de Wikipedia para la métrica de Kerr . La forma de Wikipedia para la métrica de Kerr-Newman es equivalente a la anterior, pero parece menos sencilla).

El $g_{rr}$ componente del tensor métrico es infinito cuando el denominador $r^2-2Mr+a^2+Q^2$ es cero Esto sucede en dos coordenadas radiales,

r_{\pm} = metro \pm \sqrt{{metro}^{2} - a^{2} - q^{2}} .

$r_\pm=m\pm\sqrt{m^2-a^2-Q^2}.$

El horizonte de sucesos está en $r_+$ . Queremos encontrar el área de esta superficie. La métrica 2D en la superficie $t=$ constante y $r=r_+$ es

d s_{+}^{2} = (r_{+}^{2} + a^{2} {porque}^{2} θ) d θ^{2} + (r_{+}^{2} + a^{2} + \frac{a^{2} (2 METRO r_{+} - q^{2}) {pecado}^{2} θ}{r_{+}^{2} + a^{2} {porque}^{2} θ}) {pecado}^{2} θ d ϕ^{2}

$ds_+^2= (r_+^2+a^2\cos^2{\theta)}\,d\theta^2 +\left(r_+^2+a^2+\frac{a^2(2Mr_+-Q^2)\sin^2{\theta}}{r_+^2+a^2\cos^2{\theta}}\right)\sin^2{\theta}\,d\phi^2$

y el elemento de área en esta superficie es

\begin{aligned} d A_{+} & = \sqrt{det {gramo}_{+}} d θ d ϕ \\ = \sqrt{(r_{+}^{2} + a^{2} {porque}^{2} θ) (r_{+}^{2} + a^{2} + \frac{a^{2} (2 METRO r_{+} - q^{2}) {pecado}^{2} θ}{r_{+}^{2} + a^{2} {porque}^{2} θ})} pecado θ d θ d ϕ \\ = \sqrt{(r_{+}^{2} + a^{2} {porque}^{2} θ) (r_{+}^{2} + a^{2}) + a^{2} (2 METRO r_{+} - q^{2}) (1 - {porque}^{2} θ)} pecado θ d θ d ϕ \\ = \sqrt{(r_{+}^{4} + a^{2} r_{+}^{2} + 2 METRO a^{2} r_{+} - a^{2} q^{2}) + a^{2} (r_{+}^{2} - 2 METRO r_{+} + a^{2} + q^{2}) {porque}^{2} θ} pecado θ d θ d ϕ . \end{aligned}

$\begin{align} dA_+&=\sqrt{\det{g_+}}\,d\theta\,d\phi\\ &=\sqrt{(r_+^2+a^2\cos^2{\theta})\left(r_+^2+a^2+\frac{a^2(2Mr_+-Q^2)\sin^2{\theta}}{r_+^2+a^2\cos^2{\theta}}\right)}\sin{\theta}\,d\theta\,d\phi\\ &=\sqrt{(r_+^2+a^2\cos^2{\theta})(r_+^2+a^2)+a^2(2Mr_+-Q^2)(1-\cos^2{\theta})}\sin{\theta}\,d\theta\,d\phi\\ &=\sqrt{(r_+^4+a^2r_+^2+2Ma^2r_+-a^2Q^2)+a^2(r_+^2-2Mr_++a^2+Q^2)\cos^2{\theta}}\sin{\theta}\,d\theta\,d\phi. \end{align}$

Convenientemente, el coeficiente de $\cos^2{\theta}$ en la raíz cuadrada desaparece por la definición de $r_+$ ,

r_{+}^{2} - 2 METRO r_{+} + a^{2} + q^{2} = 0,

$r_+^2-2Mr_++a^2+Q^2=0,$

y, usando esta ecuación para eliminar $M$ en el primer término de la raíz cuadrada, lo que queda debajo de la raíz cuadrada se convierte en el cuadrado perfecto $(r_+^2+a^2)^2$ . Por lo tanto, el elemento de área se simplifica al trivial de integrar

d A_{+} = (r_{+}^{2} + a^{2}) pecado θ d θ d ϕ .

$dA_+=(r_+^2+a^2)\sin{\theta}\,d\theta\,d\phi.$

integrando sobre $\theta$ de $0$ a $\pi$ y más $\phi$ de $0$ a $2\pi$ da el área del horizonte de sucesos,

A_{+} = 4 π (r_{+}^{2} + a^{2}) = 4 π (2 {METRO}^{2} - q^{2} + 2 METRO \sqrt{{METRO}^{2} - a^{2} - q^{2}}) .

$A_+=4\pi(r_+^2+a^2)=4\pi\left(2M^2-Q^2+2M\sqrt{M^2-a^2-Q^2}\right).$

Hice exactamente lo mismo y encontré la misma respuesta. ¡Muchas gracias por escribir la respuesta!
@AliOz ¿Le gustaría marcarlo como aceptado? Si es así, gracias.

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Alí Oz

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