¿La singularidad de Schwarzschild se estira en el espacio como una línea recta?

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¿La singularidad de Schwarzschild se estira en el espacio como una línea recta?

Matemáticas
singularidad
espacios métricos
geometría diferencial

esfera segura

Estoy tratando de visualizar la geometría de Schwarzschild y agradecería la ayuda de los expertos. El radial geometrizado ( $\theta=\phi=0$ ) La métrica de Schwarzschild fuera del horizonte es

\begin{matrix} (1) & d τ^{2} = (1 - \frac{r_{s}}{r}) d t^{2} - {(1 - \frac{r_{s}}{r})}^{- 1} d r^{2} \end{matrix}

$d\tau^2 = \left(1-\dfrac{r_s}{r}\right)\,dt^2\tag{1}-\left(1- \frac{r_s}{r}\right)^{-1} \,dr^2$

Dentro del horizonte, la métrica se convierte en

\begin{matrix} (2) & d τ^{2} = {(\frac{r_{s}}{r} - 1)}^{- 1} d r^{2} - (\frac{r_{s}}{r} - 1) d t^{2} \end{matrix}

$d\tau^2 = \left(\frac{r_s}{r}-1\right)^{-1} \,dr^2 - \left(\frac{r_s}{r}-1 \right)\,dt^2\tag{2}$

que es la misma ecuación pero reorganizada de manera diferente para mayor claridad. la coordenada radial $r$ es espacial por fuera, pero temporal por dentro. Del mismo modo, el $t$ la coordenada es temporal en el exterior, pero espacial en el interior. Usando simetría, podemos trazar este espacio en un número reducido de dimensiones como se muestra a continuación (donde obviamente la cuadrícula de trazado no representa intervalos reales ya que están dilatados, etc.)

Si esta lógica y la trama son correctas, $t$ dentro del horizonte representa una coordenada espacial que no apunta a la singularidad, estirando así la singularidad en el espacio en una línea a lo largo de esta coordenada. Geodésicas de objetos en caída libre (curvas continuas debajo) y rayos de luz (curvas punteadas debajo) terminan en diferentes puntos de esta línea (el eje vertical debajo)

¿Es correcta esta interpretación? De lo contrario, ¿dónde está el error lógico y cuál es la interpretación correcta?

Me doy cuenta de que las geodésicas no están definidas en $r=0$ , por lo que la singularidad no es un intervalo espacial ordinario. Sin embargo, esta pregunta es simplemente si la singularidad está "estirada en el espacio a lo largo de $t$ o "enfocado a un punto en todas las dimensiones" (como muchos creen).

Todas las coordenadas están en el marco de referencia de Schwarzschild de un observador distante. Esta pregunta es sobre la geometría del espacio-tiempo. Cualquier tema relacionado con la materia o su densidad en la singularidad está fuera del alcance. Agradecería una respuesta más que un comentario, aunque sea breve. ¡Gracias por tu ayuda!

EDITAR: según los comentarios, esta pregunta requiere una definición más precisa, así que aquí está:

En $r\ll r_s$ , es la hipersuperficie $r=const$ espacial e infinitamente largo?

¿O es espacialmente compacto en lugar de estirado a lo largo de una dimensión?

Giuseppe Negro

Esto es quizás más adecuado para Physics.SE o MathOverflow.

Respuestas (2)

¿La singularidad de Schwarzschild se estira en el espacio como una línea recta?

Esto es quizás más adecuado para Physics.SE o MathOverflow.

usuario14972 · Answer 1

Dada su actualización, el $r=const$ las rebanadas son uniformes en $t$ :

d τ = \sqrt{{(1 - \frac{r_{s}}{r})}^{- 1}} d t = (C o norte s t) \cdot d t

$\mathrm{d}\tau = \sqrt{\left(1- \frac{r_s}{r}\right)^{-1}} \,\mathrm{d}t = (\mathrm{const}) \cdot \mathrm{d}t$

Entonces obtienes una línea euclidiana ordinaria.

búsqueda matemática · Answer 2

No es una tarea fácil definir la topología y aún más difícil definir la geometría de su singularidad. Puedes considerar tu singularidad como el conjunto de geodésicas similares al tiempo que terminan en un tiempo finito. Probablemente querrá identificar algunas de esas geodésicas con otras, si se vuelven demasiado "cercanas" entre sí. Y luego, de alguna manera, poner una topología en este conjunto. Pero, ¿cómo harías eso?

Las matemáticas comienzan con definiciones, a menos que pueda proporcionar una definición que desee usar, su pregunta es demasiado vaga para un matemático. De hecho, uno puede dar definiciones para obtener ambas respuestas: un punto y un $3$ -superficie dimensional.

La intuición para este último es similar a la tuya y proviene del diagrama de Penrose (que se puede dibujar muy bien usando las coordenadas de Krushkal). No puedo hablar por todos, pero mi intuición para el punto proviene del hecho de que el horizonte de eventos es una esfera similar al tiempo de tamaño finito constante. Mientras que el universo no lo imagino como un solo punto en $t=0$ . Pero todo esto es impreciso.

¿La singularidad de Schwarzschild se estira en el espacio como una línea recta?

esfera segura

Giuseppe Negro

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usuario14972

búsqueda matemática

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