Normalización de la función propia a la función Dirac-delta

Question

Normalización de la función propia a la función Dirac-delta

Física
espacio de hilbert
normalización
Transformada de Fourier
mecánica cuántica
distribuciones-dirac-delta

PersonaConNombre

En el primer capítulo de Principios de mecánica cuántica de R. Shankar, describe cómo encontrar los valores propios y las funciones propias del operador $K=-iD=-i\frac{d}{dx}$ . Por contexto, hace esto:

Lo que no entiendo es cómo llegó a $A=1/\sqrt{2\pi}$ . Parece ser porque (ya que este es un espacio de dimensión infinita) queremos normalizar a la función delta de Dirac, pero no entiendo por qué

\begin{matrix} (*) & \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} {mi}^{- i (k - k^{'}) X} d X = d (k - k^{'}) . \end{matrix}

$\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^\infty e^{-i(k-k')x}dx=\delta(k-k').\tag{*}$ Realmente no explica esto. ¿Cómo lo normaliza?

DanielC

Delta Dirac es una distribución temperada bien definida. Como tal, existe para él una transformación de Fourier bien definida de una función.

F (f (x)) = δ (k - k^{'})

$\mathfrak{F}(f(x)) = \delta (k-k')$

qmecanico

Si su pregunta es solo sobre la normalización de la última fórmula (*), entonces es una pregunta de Matemática pura, explicada en la teoría de Fourier.

PersonaConNombre

Ok, probablemente no tengo la maquinaria matemática todavía. Voy a dar esto por sentado por ahora hasta más tarde. Gracias.

Respuestas (1)

Normalización de la función propia a la función Dirac-delta

Delta Dirac es una distribución temperada bien definida. Como tal, existe para él una transformación de Fourier bien definida de una función. $\mathfrak{F}(f(x)) = \delta (k-k')$
Si su pregunta es solo sobre la normalización de la última fórmula (*), entonces es una pregunta de Matemática pura, explicada en la teoría de Fourier.
Ok, probablemente no tengo la maquinaria matemática todavía. Voy a dar esto por sentado por ahora hasta más tarde. Gracias.

Frobenius · Answer 1

Para una función $f(x)$ la transformada de Fourier se define como:

\begin{matrix} (01) & \tilde{F} (k) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{+ \infty} F (X) {mi}^{i k X} d X \end{matrix}

$\begin{equation} \overset{\boldsymbol{\sim}}{f}\left(k\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{\boldsymbol{-}\infty}^{\boldsymbol{+}\infty}\!\!\!f\left(x\right)e^{ikx}\mathrm dx \tag{01}\label{01} \end{equation}$ Esta transformación es invertible, es decir:

\begin{matrix} (02) & F (X) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{+ \infty} \tilde{F} (k) {mi}^{- i X k} d k \end{matrix}

$\begin{equation} f\left(x\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{\boldsymbol{-}\infty}^{\boldsymbol{+}\infty}\!\!\!\overset{\boldsymbol{\sim}}{f}\left(k\right)e^{\boldsymbol{-}ixk}\mathrm dk \tag{02}\label{02} \end{equation}$

Con, ecuación $\eqref{01}$ rendimientos:

\begin{matrix} (03) & \tilde{d} (k) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{+ \infty} d (X) {mi}^{i k X} d X = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \end{matrix}

$\begin{equation} \overset{\boldsymbol{\sim}}{\delta}\left(k\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{\boldsymbol{-}\infty}^{\boldsymbol{+}\infty}\!\!\!\delta\left(x\right)e^{ikx}\mathrm dx =\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \tag{03}\label{03} \end{equation}$ Es decir, la transformada de Fourier de la

δ

$\delta$ -funcion es la constante

1 / \sqrt{2 π}

$1/\sqrt{2\pi}$ . Ecuación

(02)

$\eqref{02}$ da:

\begin{matrix} (04) & d (X) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{1}{\sqrt{2 π}} {mi}^{- i X k} d k = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{+ \infty} {mi}^{- i X k} d k \end{matrix}

$\begin{equation} \delta\left(x\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{\boldsymbol{-}\infty}^{\boldsymbol{+}\infty}\!\!\!\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\boldsymbol{-}ixk}\mathrm dk =\dfrac{1}{2\pi}\int\limits_{\boldsymbol{-}\infty}^{\boldsymbol{+}\infty}\!\!\!e^{\boldsymbol{-}ixk}\mathrm dk \tag{04}\label{04} \end{equation}$

Esto a veces se llama la definición integral de la $\delta$ -función.

Intercambio de roles deyen ecuacion $\eqref{04}$ , la definición se convierte en:

\begin{matrix} (05) & d (k) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{+ \infty} {mi}^{- i k X} d X \end{matrix}

$\begin{equation} \delta\left(k\right)=\dfrac{1}{2\pi}\int\limits_{\boldsymbol{-}\infty}^{\boldsymbol{+}\infty}\!\!\!e^{\boldsymbol{-}ikx}\mathrm dx \tag{05}\label{05} \end{equation}$

reemplazandoen ecuacion $\eqref{05}$ con $k-k'$ llegamos a:

\begin{matrix} (06) & d (k - k^{'}) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{+ \infty} {mi}^{- i (k - k^{'}) X} d X \end{matrix}

$\begin{equation} \delta\left(k-k'\right)=\dfrac{1}{2\pi}\int\limits_{\boldsymbol{-}\infty}^{\boldsymbol{+}\infty}\!\!\!e^{\boldsymbol{-}i(k-k')x}\mathrm dx \tag{06}\label{06} \end{equation}$ que es la ecuación que usó Shankar.

Normalización de la función propia a la función Dirac-delta

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DanielC

qmecanico

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Frobenius

Frobenius

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