¿Por qué usamos el espacio L2L2L_2 en QM?

Aquí supondremos que OP no cuestiona los principios/postulados/axiomas físicos fundamentales de la mecánica cuántica , como, por ejemplo, la necesidad de tener un espacio de Hilbert$H$en primer lugar, etc; y ese OP solo está reflexionando sobre el papel de$L^2$-espacios (a diferencia de, por ejemplo,$L^1$-espacios).

Para mayor concreción y simplicidad, consideremos el espacio de posición tridimensional$\mathbb{R}^3$. Uno usa el$L^2$-espacio$H=L^2(\mathbb{R}^3)$como un espacio de Hilbert por varias razones:

1. Tener una norma bien definida

   $$\tag{1} ||\psi||_p~:=~\left(\int d^3x ~ |\psi(x)|^p\right)^{\frac{1}{p}}, \qquad p~=~2.$$ [La norma (1) en realidad funciona para cualquier$L^p$-espacio $L^p(\mathbb{R}^3)$con$p\geq 1$.]

2. Para tener un producto interno bien definido/forma sesquilineal,

   $$\tag{2} \langle \phi, \psi\rangle ~:=~\int d^3x ~ \phi^*(x)\psi(x).$$ En particular, el integrando$\phi^*\psi$debe ser integrable , es decir, i) medible según Lebesgue , y ii) el integrando de valor absoluto debe tener una integral finita: $$\tag{3} \int d^3x ~ |\phi^*(x)\psi(x)|~<~\infty.$$ Prueba de la ecuación (3): Observe la desigualdad $$\tag{4} (|\phi(x)|-|\psi(x)|)^2 \geq 0\qquad \Leftrightarrow\qquad 2|\phi(x)^*\psi(x)| \leq |\phi(x)|^2+|\psi(x)|^2,$$ para que el integrando$\phi^*\psi$en el producto interior (2) se vuelve integrable $$\tag{5} 2\int d^3x ~ |\phi^*(x)\psi(x)|~\stackrel{(1,4)}{\leq}~ ||\phi||^2_2+||\psi||^2_2~<~\infty,$$ porque lo exigimos$\phi$y$\psi$son integrables al cuadrado , es decir que$\phi,\psi\in L^2(\mathbb{R}^3)$. Nótese en particular que la ecuación (3) no se cumple en general para$\phi,\psi\in L^p(\mathbb{R}^3)$con$p \neq 2$.

3. Para asegurar que el espacio vectorial normado$H$está completo _ Ver también esta respuesta Phys.SE. [Esto realmente funciona para cualquier$L^p$-espacio$L^p(\mathbb{R}^3)$con$p\geq 1$.]

4. Para asegurarse de que, por ejemplo, el conjunto$C^{\infty}_c(\mathbb{R}^3)$de infinitas veces funciones diferenciables con soporte compacto se incluyen en el espacio$H$. [Esto realmente funciona para cualquier$L^p$-espacio$L^p(\mathbb{R}^3)$con$p\geq 1$.]

5. Tenga en cuenta que todos los demás$L^p$-espacios $L^p(\mathbb{R}^3)$con$p\neq 2$no son espacios de Hilbert (aunque sí son espacios de Banach). Esto está relacionado con el hecho de que el doble $L^p$-el espacio es$L^p(\mathbb{R}^3)^*\cong L^q(\mathbb{R}^3)$donde$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$. Por lo tanto un$L^p$-el espacio solo es autodual si$p=2$. Selfduality implica que hay un isomorfismo entre kets y bras.

6. Es cierto que otros espacios de Hilbert (modelados sobre el espacio de posición$\mathbb{R}^3$) existen, pero normalmente se basarían en una estructura adicional. (Por ejemplo, se podría usar otra medida de integración$d\mu$que la medida de Lebesgue$d^3x$.)

En conclusión, el$L^2$-espacio$H=L^2(\mathbb{R}^3)$ es la elección más simple y más natural/canónica.

El escenario tradicional para la mecánica cuántica es un espacio de Hilbert. Un observable$X$con un espectro real continuo (como un componente de posición o momento) tiene una representación en la que es diagonal, y por alguna versión del teorema espectral, el espacio de Hilbert es automáticamente isomorfo al espacio de$L^2$funciones$\psi(x,s)$(donde$s$denota números cuánticos de observables independientes de$X$pero conmutando con él) tal que$X$se representa como una multiplicación por$x$.

Por lo tanto, la$L^2$La estructura no se impone arbitrariamente a la mecánica cuántica, sino que es deducible matemáticamente de la existencia de observables con un espectro real continuo.

En 1925, en los primeros días de QM, Heisenberg ideó un espacio de vectores con infinitas componentes, mientras que Schroedinger ideó un espacio de funciones de onda. En 1932, von Neumann (quien demostró el teorema espectral) demostró que las dos formas de QM (mecánica de matrices y mecánica de ondas) eran solo el caso de distinguir (en la representación utilizada) observables con espectro discreto (energía y momento angular de un límite). partícula) u observables con espectro continuo (posición o momento de una partícula ligada).

No hay diferencia real entre estas representaciones; sólo la colección de operadores diagonales en la representación es diferente. Por lo tanto, dan resultados totalmente equivalentes, pero depende del problema qué formulación da un acceso más fácil a los cálculos. El enfoque de Schroedinger generalmente se prefiere en la mecánica cuántica ordinaria, mientras que el de Heisenberg se usa principalmente en la teoría cuántica de campos (ya que el enfoque del oscilador armónico se generaliza más fácilmente a los campos cuánticos).

Primero, permítanme enfatizar que los estados propios de posición y momento no pertenecen a$L^2$. Además, el estado canónico para un LPS no tiene una norma de espacio de Hilbert.

La respuesta fundamental a su pregunta está codificada en la estructura de espacio de fase subyacente. En la formulación del espacio de fases de la mecánica cuántica, el estado de un sistema viene dado por una función$F(p,q;t)$de los cuales solo se requiere normalización; nada se dice de la integral de su cuadrado (o de cualquier otro producto escalar propiamente definido consigo mismo). La normalización puede entenderse en términos físicos (probabilidades) o, matemáticamente, utilizando la relación elemento unidad$\langle 1 \rangle = 1$.

Los promedios de cantidades dinámicas se obtienen como el producto de funciones espaciales de fase dinámica$b(p,q;t)$y estados$F(p,q;t)$. Esto en una especie de espacio de Banach con funciones dinámicas que juegan el papel de 'bras' y afirman el papel de 'kets'. De hecho, el promedio del espacio de fase se puede reescribir como$\langle \langle b(p,q;t) | F(p,q;t) \rangle \rangle$.

El espacio de Hilbert y el$L^2$La estructura se puede derivar del espacio de fase subyacente mediante la introducción de una descomposición del estado$F(p,q;t)$en amplitudes de valores complejos$\Psi(q;t)$.

Observe que la estructura de fase es más general que la de Hilbert y$L^2$espacios y da cuenta de estados cuánticos mixtos , que no están descritos por ninguna$\Psi(q;t)$.