¿Cuál es la interpretación de probabilidad cero en física?

Question

¿Cuál es la interpretación de probabilidad cero en física?

Manas Dogra

La imposibilidad de un evento implica la desaparición de su probabilidad. Pero lo contrario no es cierto. Esta publicación en las publicaciones de intercambio de pila de matemáticas dice por qué la probabilidad cero no significa necesariamente eventos imposibles. Entonces, ¿por qué actuamos como es, en física, es decir, cómo es necesaria y suficiente la desaparición de la probabilidad para la imposibilidad de un evento en física?

Como ejemplo, la probabilidad de elegir un número real específico del conjunto de todos los números reales es cero, pero si alguien realmente elige ese mismo número, resulta que el evento no era realmente imposible después de todo...

De manera similar, ¿se puede encontrar una partícula donde la función de onda se desvanece de manera idéntica? Quiero decir, cada vez que integramos el módulo cuadrado de una función de onda en algún intervalo y el resultado es exactamente cero, lo interpretamos como una imposibilidad de que la partícula esté en la región de integración. ¿Es correcta esta interpretación? Si es así, ¿por qué? Si no, ¿cómo deberíamos interpretar correctamente la probabilidad cero en general en física?

shai horowitz

¿Alguna vez obtienes 0 de la integración o simplemente algo muy, muy cercano a 0?

Hoagie nuclear

No puedo pensar en un ejemplo en el que se diga que un evento con una probabilidad muy pequeña (pero distinta de cero) es imposible. Es muy poco probable, y es posible que nunca lo observe en su vida, pero una probabilidad distinta de cero implica que se espera que ocurra en un número finito de ensayos.

Manas Dogra

@shaihorowitz Quiero interpretar los resultados donde la integración arroja exactamente cero resultados.

Manas Dogra

@NuclearHoagie Eliminé esa oración engañosa.

Tomás

Asumiendo masas puntuales, la densidad de probabilidad para encontrar un electrón atómico en el origen (núcleo) debe ser exactamente cero, de lo contrario tendrías una fuerza de Coulomb infinita. Por esa razón, la función de onda de Coulomb es cero en el origen. Ni siquiera podría elegir el origen como una posible ubicación para el electrón si quisiera.

Manas Dogra

@Thomas, eso significa que la probabilidad es cero, pero eso no debería implicar que no encontraremos la partícula allí matemáticamente. Pero se nos dice... ¿Por qué?

Manas Dogra

Muy relacionado: physics.stackexchange.com/q/145166

yvan velenik

No se debe interpretar la probabilidad 0 como imposibilidad de ocurrencia, sino como imposibilidad de predicción. Uno no puede adivinar cuál será el resultado de un evento de probabilidad 0 (hacer tal predicción "siempre" fallará).

Manas Dogra

@Yvan Velenik Gracias. tu comentario responde exactamente a mi pregunta. Pero buscaré una respuesta más detallada si hay alguna.

Tomás

@ManasDogra No encontrarás un electrón en el centro de un átomo. Se excluye matemáticamente ya que produciría una fuerza infinita. Las funciones de onda tienen probabilidad cero en otros lugares (básicamente los nodos de la onda), pero esto es físicamente más difícil de discutir aquí.

Tomás

@YvanVelenik Imposibilidad de predicción significa probabilidad igual en todas partes, no probabilidad 0

yvan velenik

@Thomas: estás malinterpretando mi comentario. Considere una distribución de probabilidad gaussiana sobre la línea real. Elige tu número favorito y luego elige uno al azar usando esta distribución: (casi seguro) no coincidirán. Esto es en este sentido que no se puede predecir el resultado. "Nunca" acertarás.

yvan velenik

@Thomas: Esto no tiene nada que ver con el hecho de que la distribución sea uniforme, sino con el hecho de que es absolutamente continua. De hecho, si tiene una distribución uniforme sobre un conjunto finito, puede predecir el resultado con probabilidad positiva: considere, por ejemplo, el resultado de un lanzamiento justo de una moneda.

Tomás

@YvanVelenik No hay distribuciones uniformes en realidad. Las funciones de distribución gaussianas, etc., son funciones matemáticas continuas que aproximan ciertas características de la distribución real (discreta). Su argumento se basa en una característica que está fuera de la validez de esta aproximación.

yvan velenik

@Thomas La pregunta es sobre la interpretación del modelo matemático en física, por lo que su punto es discutible. Pero, en cualquier caso, cuando se describe un gas, ciertamente tiene mucho sentido usar una distribución continua. Mi punto (no es un argumento, en realidad) es solo proporcionarle al OP una forma alternativa de pensar sobre el significado de los eventos de probabilidad cero y lo mantengo por completo.

Respuestas (2)

¿Cuál es la interpretación de probabilidad cero en física?

¿Alguna vez obtienes 0 de la integración o simplemente algo muy, muy cercano a 0?
No puedo pensar en un ejemplo en el que se diga que un evento con una probabilidad muy pequeña (pero distinta de cero) es imposible. Es muy poco probable, y es posible que nunca lo observe en su vida, pero una probabilidad distinta de cero implica que se espera que ocurra en un número finito de ensayos.
@shaihorowitz Quiero interpretar los resultados donde la integración arroja exactamente cero resultados.
Asumiendo masas puntuales, la densidad de probabilidad para encontrar un electrón atómico en el origen (núcleo) debe ser exactamente cero, de lo contrario tendrías una fuerza de Coulomb infinita. Por esa razón, la función de onda de Coulomb es cero en el origen. Ni siquiera podría elegir el origen como una posible ubicación para el electrón si quisiera.
@Thomas, eso significa que la probabilidad es cero, pero eso no debería implicar que no encontraremos la partícula allí matemáticamente. Pero se nos dice... ¿Por qué?
No se debe interpretar la probabilidad 0 como imposibilidad de ocurrencia, sino como imposibilidad de predicción. Uno no puede adivinar cuál será el resultado de un evento de probabilidad 0 (hacer tal predicción "siempre" fallará).
@Yvan Velenik Gracias. tu comentario responde exactamente a mi pregunta. Pero buscaré una respuesta más detallada si hay alguna.
@ManasDogra No encontrarás un electrón en el centro de un átomo. Se excluye matemáticamente ya que produciría una fuerza infinita. Las funciones de onda tienen probabilidad cero en otros lugares (básicamente los nodos de la onda), pero esto es físicamente más difícil de discutir aquí.
@YvanVelenik Imposibilidad de predicción significa probabilidad igual en todas partes, no probabilidad 0
@Thomas: estás malinterpretando mi comentario. Considere una distribución de probabilidad gaussiana sobre la línea real. Elige tu número favorito y luego elige uno al azar usando esta distribución: (casi seguro) no coincidirán. Esto es en este sentido que no se puede predecir el resultado. "Nunca" acertarás.
@Thomas: Esto no tiene nada que ver con el hecho de que la distribución sea uniforme, sino con el hecho de que es absolutamente continua. De hecho, si tiene una distribución uniforme sobre un conjunto finito, puede predecir el resultado con probabilidad positiva: considere, por ejemplo, el resultado de un lanzamiento justo de una moneda.
@YvanVelenik No hay distribuciones uniformes en realidad. Las funciones de distribución gaussianas, etc., son funciones matemáticas continuas que aproximan ciertas características de la distribución real (discreta). Su argumento se basa en una característica que está fuera de la validez de esta aproximación.
@Thomas La pregunta es sobre la interpretación del modelo matemático en física, por lo que su punto es discutible. Pero, en cualquier caso, cuando se describe un gas, ciertamente tiene mucho sentido usar una distribución continua. Mi punto (no es un argumento, en realidad) es solo proporcionarle al OP una forma alternativa de pensar sobre el significado de los eventos de probabilidad cero y lo mantengo por completo.

ZeroTheHero · Answer 1

El cuadrado de la función de onda. $\vert\psi(x)\vert^2$ es una densidad de probabilidad , no una probabilidad. La probabilidad de encontrar el sistema en un contenedor pequeño de ancho $dx$ centrado en $x_0$ está muy cerca $\vert\psi(x_0)\vert^2 dx$ y por lo tanto casi $0$ si $\vert\psi(x_0)\vert^2= 0$ , pero el cálculo exacto da como resultado

PAG = \int_{X_{0} - d X / 2}^{X_{0} + d X / 2} d X | ψ (X) |^{2}

$P=\int_{x_0-dx/2}^{x_0+dx/2} dx \vert\psi(x)\vert^2$ que será evanescentemente pequeño pero sin embargo distinto de cero incluso si

| ψ (x_{0}) |^{2} = 0

$\vert\psi(x_0)\vert^2=0$ ya que presumiblemente habrá un punto cercano en el intervalo

[x_{0} - d x / 2, x_{0} + d x / 2]

$[x_0-dx/2,x_0+dx/2]$ dónde

| ψ (x_{0}) |^{2} \neq 0

$\vert\psi(x_0)\vert^2\ne 0$ exactamente.

Tenga en cuenta que esta es una característica de las distribuciones de probabilidad continua donde la distribución es $0$ en puntos aislados. Si el $\vert\psi(x)\vert^2$ es exactamente $0$ en el intervalo, la probabilidad de encontrar el sistema en ese intervalo es exactamente $0$ .

Si, por el contrario, se trata de resultados discretos y, por ejemplo, se prepara un sistema en el $\vert \uparrow \rangle$ estado, hay $0$ y exactamente $0$ probabilidad de encontrarlo en el $\vert \downarrow \rangle$ estado.

Entonces, ¿quieres decir que no hay ningún ejemplo físico donde el $P$ es exactamente cero? Otra cosa: dices si el $|\psi(x)|^2$ es exactamente 0 en el intervalo, la probabilidad de encontrar el sistema en ese intervalo es exactamente 0. --mi pregunta es ¿esta probabilidad exacta de 0 significa que no encontraremos la partícula en el intervalo? ¿Porque?
Puede parecer obvio que la probabilidad cero significa que no encontraremos la partícula por definición. Pero la publicación de intercambio de pila matemática y el ejemplo en mi pregunta dicen que esto puede no ser así... La probabilidad cero puede no significar la imposibilidad del evento... La principal confusión radica ahí :)
@ManasDogra si lo es $0$ en un intervalo finito, entonces es exactamente $0$ en el intervalo: no encontrará el sistema allí en absoluto ya que $\int dx \vert\psi(x)\vert^2=0$ en el intervalo. Si esto es $0$ en uno o más puntos en el intervalo entonces $\int dx \vert\psi(x)\vert^2\ne 0$ . En otras palabras, la integral de una función no negativa que es cero en algunos puntos de un intervalo no es cero sino la integral de una función que es $0$ en un intervalo es $0$ cuando se integra en el intervalo.
Sí, sí, lo entendí, pero mi verdadera pregunta es INTERPRETAR la probabilidad exactamente cero del evento cuando sucede... ¿implica que no encontraremos la partícula en el intervalo? No debería al menos matemáticamente, pero a menudo en física decimos que la partícula no se encontrará en ese intervalo...
Si la densidad de probabilidad es exactamente $0$ en todas partes en el intervalo nunca lo encontrarás en ese intervalo. Aquí no hay interpretación. La única confusión posible es si la probabilidad es extremadamente pequeña (pero no exactamente $0$ ). Coloquialmente, tal vez algunos usen evanescentemente pequeño como sinónimo de $0$ pero estrictamente no son lo mismo.
¿Por qué la probabilidad cero debería implicar la inexistencia de la partícula en el intervalo?... La probabilidad cero no significa la imposibilidad de un evento.
evanescentemente pequeño no lo es $0$ . Es muy poco probable que se encuentre el sistema en el intervalo, pero eso no es $0$ . (debemos estar hablando con propósitos cruzados...). Si hay $0$ probabilidad de que el evento no suceda.
Si es estrictamente $0$ sobre el intervalo, entonces el sistema no se puede encontrar en ese intervalo. Si su sistema es un electrón, no puede estar en el intervalo. La "existencia" (lo que sea que eso signifique) del electrón en ese intervalo es imposible: puedes hacer una cantidad arbitraria de medidas y la partícula nunca estará en el intervalo, por lo que concluyes que, para un sistema preparado de esa manera, el El electrón "no existe" durante el intervalo ya que nunca lo encuentras allí.
Sí, creo que estamos hablando de cosas diferentes... De hecho, dije que la probabilidad de desaparición (=0) no es tan pequeña... tal vez suene como una frase incorrecta, así que edité el comentario anterior... Estoy ansioso por saber acerca de la probabilidad estrictamente cero ... y su última oración del comentario anterior es precisamente por qué puse la publicación de intercambio de pila matemática en mi pregunta original que afirma por qué la probabilidad cero no implica la imposibilidad del evento.
Si la densidad de probabilidad es exactamente $0$ en algún intervalo, entonces la partícula se encontrará fuera de ese intervalo casi con seguridad , lo que no significa necesariamente que sea imposible encontrar la partícula en ese intervalo.
Esta no es realmente una pregunta de física, sino más bien una pregunta de matemáticas sobre límites, etc. Si desea comprender este tema, probablemente necesite pasar algún tiempo con nuestros hermanos matemáticos. Volviendo a la física: en el caso de QM, puede haber puntos específicos en el espacio donde la probabilidad de encontrar una partícula es cero, pero en cualquier otro lugar es distinto de cero. Si un dispositivo de medición dice la posición de una partícula $x = a$ , realmente significa $x - \epsilon < x < a + \epsilon$ . es decir, la partícula está en alguna región. Es decir, su pregunta no es un comienzo ya que no es físicamente significativa.
@ZeroTheHero Si es estrictamente 0 en el intervalo, entonces el sistema no se puede encontrar en ese intervalo. ¿Por qué? ¿Por qué sucede que siempre que la probabilidad sea cero no podremos encontrar el sistema en el intervalo? Sandejo aclara mi punto
@Sandejo Si lo probable es exactamente $0$ en todas partes en el intervalo entonces ¿por qué casi seguramente fuera de él?
@Sandejo cuando me refiero a que la densidad es exactamente $0$ Excluyo puntos de medida $0$ .
Casi con seguridad significa que la probabilidad es exactamente $1$ . Seguramente significa que el evento es todo el espacio de los resultados elementales, que no conoces aquí.
Se tomó el punto de @Sandejo, pero no estoy seguro de que en esta discusión se desconozca el espacio de los resultados.

Sandejo · Answer 2

En la teoría de la probabilidad, un evento es posible si no está vacío. En el contexto de las variables aleatorias, podemos decir que es posible que una variable aleatoria $\xi$ tomar el valor $x$ si $\xi(\omega)=x$ para algunos $\omega\in\Omega$ , dónde $\Omega$ es el espacio de resultados elementales en el espacio de probabilidad en el que $\xi$ se define.

En física, no tenemos acceso a espacios de probabilidad; solo tenemos distribuciones de probabilidad. En otras palabras, si tenemos alguna variable aleatoria $X$ que representa el resultado de una medición de posición de una partícula en algún estado $\lvert\alpha\rangle$ , podemos encontrar la densidad de probabilidad de $X$ por $p_X(x)=\lvert\langle x\vert\alpha\rangle\rvert^2$ , pero esta densidad no define de forma única una variable aleatoria en un espacio de probabilidad, por lo que podemos considerar $X$ ser cualquier variable aleatoria con esta densidad. Por lo tanto, en realidad no tenemos suficiente información para decir que es imposible encontrar la partícula en un nodo (punto donde la función de onda desaparece). Sin embargo, también es importante recordar que cualquier medida que realice va a tener una incertidumbre distinta de cero, por lo que realmente no hay necesidad de preocuparse por el hecho de que los puntos individuales tienen probabilidad cero, ya que en la práctica, realmente puede solo mida la partícula para estar en un intervalo, en lugar de en un punto particular.

Por lo tanto, en realidad no tenemos suficiente información para decir que es imposible encontrar la partícula en un nodo ---Este punto sutil junto con el hecho de que la probabilidad 0 en algún intervalo no significa que la partícula no pueda estar en ese intervalo es a menudo no se menciona en los libros!
Pregunta relacionada: ¿Puede existir una situación física donde la función de onda sea 0 en un subintervalo del dominio de definición del problema? No puedo pensar en uno porque si es 0 en algún subintervalo pero no en todas partes, entonces la función debe ser (creo) no diferenciable en el punto donde de repente deja de ser cero y, por lo tanto, tiene un impulso indefinido en esos puntos... tengo razón en este razonamiento?
@ManasDogra Puede comparar el nodo de la función de onda con el nodo de una onda estacionaria clásica. Y la amplitud y energía de una onda estacionaria en un nodo es permanentemente cero.

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