Mecánica cuántica: ¿cómo funciona exactamente la "normalización de la función delta" para funciones propias en el caso de espacio libre 1-d?

Question

Mecánica cuántica: ¿cómo funciona exactamente la "normalización de la función delta" para funciones propias en el caso de espacio libre 1-d?

Física
espacio de hilbert
normalización
Transformada de Fourier
mecánica cuántica
distribuciones-dirac-delta

usuario3336365

La definición de "normalización de función delta" dice que una base de funciones propias de una partícula en el espacio libre es ortonormal cuando

\int_{- \infty}^{\infty} ϕ_{norte}^{*} (\vec{r}) ϕ_{metro} (\vec{r}) d \vec{r} = d_{norte, metro}

$\int_{-\infty}^{\infty}\phi_n^*(\vec{r})\phi_m(\vec{r})\mathrm{d}\vec{r}=\delta_{n,m}$ dónde

δ_{n, m}

$\delta_{n,m}$ es la función delta de Kronecker.

Por lo tanto, considere una partícula en un espacio libre unidimensional. Las funciones propias de la posición de la partícula tienen la forma de $\phi_{position}=\delta_n(x-x_n)$ , y sus funciones propias de momento $\phi_{momentum} =e^{ik_nx}$ .

Entiendo que las funciones propias de posición son ortonormales, ya que uno puede usar la propiedad de tamizado de las funciones delta en la siguiente fórmula y mostrar que, de hecho, las funciones propias de posición son ortonormales en el sentido de la normalización de la función delta. En otras palabras

\int_{- \infty}^{\infty} d_{norte}^{*} (X - X_{norte}) d_{metro} (X - X_{metro}) d X = d_{norte}^{*} (X - X_{norte}) d_{metro} (X - X_{metro}) = d (X_{norte} - X_{metro}) = d_{norte, metro}

$\int_{-\infty}^{\infty}\delta_{n}^*(x-x_n)\delta_{m}(x-x_m)\mathrm{d}x=\delta_{n}^*(x-x_n)\delta_{m}(x-x_m)=\delta(x_n-x_m)=\delta_{n,m}$

Sin embargo, estoy teniendo dificultades para aplicar la misma definición a las funciones propias de momento como

\int_{- \infty}^{\infty} ({mi}^{i k_{norte} X})^{*} {mi}^{i k_{metro} X} d X = \int_{- \infty}^{\infty} {mi}^{- i (k_{norte} - k_{metro}) X} d X

$\int_{-\infty}^{\infty}(e^{ik_nx})^*\ e^{ik_mx}\mathrm{d}x=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-i(k_n-k_m)x}\mathrm{d}x$ donde si

n = m

$n=m$ , entonces la ecuación se convierte en

\int_{- \infty}^{\infty} 1 d x = \infty

$\int_{-\infty}^{\infty}1\ \mathrm{d}x=\infty$ ; y si

n \neq m

$n\ne m$ , entonces la ecuación sigue siendo oscilatoria y no converge.

En ambos casos, no está claro si la integral satisface la definición de normalización de la función delta. Para el $n=m$ caso, $\int_{-\infty}^{\infty}1\ \mathrm{d}x = \infty$ podría ser cualquier múltiplo de la función delta, es decir $\delta$ , $2\delta$ , $3\delta$ , etc., ya que la definición de infinito es vaga. Por otro lado, cuando $n\ne m$ , la integral no se anula a cero y, por lo tanto, no satisface la definición.

Estoy bastante seguro de que la confusión que tengo aquí está relacionada con las definiciones de integración de funciones generalizadas y transformada de Fourier. Porque los modos en la transformada de Fourier también son ortogonales entre sí. Pero como ingeniero eléctrico, simplemente di por sentada la transformada de Fourier y olvidé cómo probar la ortogonalidad.

¿Que me estoy perdiendo aqui? como se prueba $\int_{-\infty}^{\infty}1\ \mathrm{d}x = \infty = \delta$ y $\int_{-\infty}^{\infty}(e^{ik_nx})^*\ e^{ik_mx}\mathrm{d}x=\delta_{n,m}$ ?

petirrojo

Las ecuaciones deben entenderse en el sentido de distribuciones.

Benjamín Horowitz

Sí, realmente no estás entendiendo qué es un delta de dirac. No es un infinito en cero, es una distribución definida por sus propiedades integrales. Entonces, la primera expresión integral de la línea final es incorrecta.

usuario3336365

@Benjamin Espera. ¿Puede explicar por qué no se puede probar la primera integral de la última línea? Es exactamente por eso que estoy confundido. Sé que Dirac delta es una función generalizada y solo funciona en la forma en que su integral es uno. Pero no funciona al revés y un mero resultado del infinito no es un delta de Dirac. Es por eso que mencioné que podría ser cualquier cosa. Entonces, la pregunta sigue siendo cómo hacer la normalización de la función de Dirac para las funciones propias del impulso.

Benjamín Horowitz

Ah, veo la principal confusión que ocurre aquí... la función de onda de partículas libres 1-d no es normalizable ya que no llega a cero en el infinito. Aquí podría haber una buena fuente para mirar: physicspages.com/2012/09/11/…

usuario3336365

Gracias por la referencia, Benjamín. Si hace clic en la fórmula dudosa, dice "Esta fórmula claramente no tiene sentido, ya que estamos integrando una función oscilante en un rango infinito, por lo que no converge". Entonces, ¿supongo que las funciones propias del impulso no son ortogonales en un sentido matemático estricto? ¿Pero son ortogonales en física? :/ Todavía me molesta.

qmecanico

Relacionado: physics.stackexchange.com/q/47934/2451 , physics.stackexchange.com/q/89958/2451 y enlaces allí.

Quillo

relacionado: physics.stackexchange.com/q/155304/226902

Respuestas (1)

Mecánica cuántica: ¿cómo funciona exactamente la "normalización de la función delta" para funciones propias en el caso de espacio libre 1-d?

Las ecuaciones deben entenderse en el sentido de distribuciones.
Sí, realmente no estás entendiendo qué es un delta de dirac. No es un infinito en cero, es una distribución definida por sus propiedades integrales. Entonces, la primera expresión integral de la línea final es incorrecta.
@Benjamin Espera. ¿Puede explicar por qué no se puede probar la primera integral de la última línea? Es exactamente por eso que estoy confundido. Sé que Dirac delta es una función generalizada y solo funciona en la forma en que su integral es uno. Pero no funciona al revés y un mero resultado del infinito no es un delta de Dirac. Es por eso que mencioné que podría ser cualquier cosa. Entonces, la pregunta sigue siendo cómo hacer la normalización de la función de Dirac para las funciones propias del impulso.
Ah, veo la principal confusión que ocurre aquí... la función de onda de partículas libres 1-d no es normalizable ya que no llega a cero en el infinito. Aquí podría haber una buena fuente para mirar: physicspages.com/2012/09/11/…
Gracias por la referencia, Benjamín. Si hace clic en la fórmula dudosa, dice "Esta fórmula claramente no tiene sentido, ya que estamos integrando una función oscilante en un rango infinito, por lo que no converge". Entonces, ¿supongo que las funciones propias del impulso no son ortogonales en un sentido matemático estricto? ¿Pero son ortogonales en física? :/ Todavía me molesta.
Relacionado: physics.stackexchange.com/q/47934/2451 , physics.stackexchange.com/q/89958/2451 y enlaces allí.

Coraje · Answer 1

La función delta no es realmente una función, es una distribución, en sentido estricto tanto $\delta (x)$ y $e^{ikx}$ no son normalizables cuando $n=m$

Una forma de probar tus ecuaciones es usar transformadas de Fourier

Usando el teorema de Placherels la transformada de Fourier $F([f(x)]k)$ para la función $f(x)$ es dado por

F [d (X - X_{0})] (k) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{\infty} d (X - X_{0}) {mi}^{- i k X} d X = \frac{1}{\sqrt{2 π}} {mi}^{- i k X_{0}}

$F[\delta(x-x_0)](k)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x-x_0)e^{-ikx}\mathrm dx= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-ikx_0}$

considerar la inversa de Fourier

F^{- 1} [{mi}^{- i k X_{0}}] = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{\infty} {mi}^{i k (X - X_{0})} d k

$F^{-1}[e^{-ikx_0}]=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{ik(x-x_0)}dk$

claramente esto es $\infty$ pero hay un truco o una solución para esto, podemos estar seguros de que para cualquier función $f(x)$ si

F (X) \overset{Transformada de Fourier}{\to} F [F (X)] (k)

$f(x) \xrightarrow{\text{fourier transform}} F[f(x)](k)$ entonces

F [F (X)] (k) \overset{transformada inv de fourier}{\to} F (X)

$F[f(x)](k) \xrightarrow{\text{ inv fourier transform}} f(x)$

Entonces podemos escribir

\int_{- \infty}^{\infty} {mi}^{i k (X - X_{0})} d k = 2 π d (X - X_{0})

$\int_{-\infty}^{\infty}e^{ik(x-x_0)} \mathrm dk= 2\pi\delta (x-x_0)$

Para funciones propias de momento, reemplazando usando la ecuación anterior y reemplazando $x$ , $x_0$ , $k$ por $k_m$ , $k_n$ , $x$ tenemos

\int_{- \infty}^{\infty} {mi}^{i X (k_{metro} - k_{norte})} d X = \int_{- \infty}^{\infty} {mi}^{i X k_{metro}} ({mi}^{i X k_{norte}})^{*} d X = 2 π d (k_{metro} - k_{norte})

$\int_{-\infty}^{\infty}e^{ix(k_m-k_n)} \mathrm dx= \int_{-\infty}^{\infty}e^{ixk_m}(e^{ixk_n})^* \mathrm dx=2\pi\delta (k_m-k_n)$

Entonces, las funciones propias " normalizadas " del impulso se convierten en

d (k_{metro} - k_{norte})

$\delta(k_m-k_n)$

Lo importante es que las funciones $\delta(x)$ y $e^{ikx}$ son completos y ortogonales y eso es todo lo que necesitamos si fuéramos a usarlos como vectores base para nuestro espacio de Hilbert

Consulte también Griffths- Introducción a la mecánica cuántica, Capítulo 3- Formalismo

Ahora veo tu punto. Usaste pares de Fourier de la función delta y exponenciales complejas para demostrar que la base de las funciones propias de cantidad de movimiento es ortogonal. Luego, afirmaste que dado que son ortogonales y completas, uno puede expandir cualquier función en términos de la base, una afirmación que también he leído en otros libros de texto. Hasta ahora, todo bien. Estoy totalmente de acuerdo con tu argumento. Pero aún así, la noción de que la base no es normalizable no me parece muy física. ¿Tienes alguna idea sobre esto tal vez?
pd: es posible que desee cambiar su redacción. Si el conjunto de vectores ortogonales no es normalizable, entonces no son ortogonales y dicho conjunto de vectores no cumple con el requisito de formar una base para un espacio de Hilbert. Solo algo de rigor matemático aquí. (Aunque ahora estoy confundido sobre cómo referirme al conjunto de exponenciales complejos, ya que no son una base. :-/)
@user3336365 Oye, realmente no tienes que aceptar mi respuesta si no estás satisfecho (sé que no lo estás), eso es todo lo que la mayoría de los libros de texto de nivel UG tienen para ofrecer, y solo he estudiado eso :) para profundizar respuesta, probablemente podría esperar o ver los enlaces proporcionados por Qmechanic :)

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Tratando de entender primero las bases de posición y momento en Mecánica Cuántica

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