¿Por qué es ⟨x|x′⟩=δ(x−x′)⟨x|x′⟩=δ(x−x′)\langle x| x'\rangle=\delta(xx')? [duplicar]

Question

¿Por qué es ⟨x|x′⟩=δ(x−x′)⟨x|x′⟩=δ(x−x′)\langle x| x'\rangle=\delta(xx')? [duplicar]

Física
probabilidad
espacio de hilbert
normalización
mecánica cuántica
distribuciones-dirac-delta

física

He tratado de encontrar alguna solución o prueba para

⟨ X | X^{'} ⟩ = d (X - X^{'}),

$\langle x| x' \rangle=\delta(x-x'),$ pero solo llegué a esta publicación: función de onda y notación bra-ket de Dirac

Entonces obtuve la información, que el vector $|x\rangle$ forman una base normalizada de dirac para el espacio de Hilbert.

Sé que la distribución dirac-delta se define así:

d (X - X^{'}) = {\begin{cases} 0 & si X \neq X^{'} \\ \infty & si X = X^{'} \end{cases},

$\delta(x-x') = \begin{cases} 0 &\mbox{if } x\neq x' \\ \infty & \mbox{if } x=x' \end{cases},$ esto significa que mi x' es un punto en mi eje x donde tengo mi pico alto infinito. Y también

\int_{- \infty}^{\infty} d X \cdot d (X - X^{'}) = 1.

$\int_{-\infty}^{\infty}dx\cdot \delta(x-x')=1.$

Pero, ¿cómo se correlaciona realmente esto con el producto escalar de los vectores x, x' en el espacio de Hilbert que forman una base llamada 'diracl-normailzed'?

¿Pueden darme algunos consejos sobre esto, por favor? O tal vez conoces un enlace donde se explica esto.

usuario95137

¿ Posible duplicado de Diferencias entre ortogonalidad y función delta de Kronecker?

qmecanico

Posibles duplicados: physics.stackexchange.com/q/89958/2451 , physics.stackexchange.com/q/273423/2451 y enlaces allí.

Bob Knighton

No es una respuesta (las de abajo son perfectas), sino un poco quisquilloso. El

δ

$\delta$ -función no se define de la manera que usted dice, sino por el hecho de que

F (X) = \int_{- \infty}^{\infty} d y F (y) d (X - y)

$f(x)=\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{d}y\,f(y)\delta(x-y)$ Para todas las funciones de buen comportamiento

f (x)

$f(x)$ . Sé que esto se siente un poco pedante, pero es realmente bueno asegurarse de que solo use su definición como un punto de partida intuitivo para comprender la distribución en contextos físicos (

δ

$\delta$ -potenciales de función o cargas, por ejemplo).

FraSchelle

Posible duplicado de ¿Cómo se elige la "normalización" de los estados no normalizables?

Respuestas (2)

¿Por qué es ⟨x|x′⟩=δ(x−x′)⟨x|x′⟩=δ(x−x′)\langle x| x'\rangle=\delta(xx')? [duplicar]

¿ Posible duplicado de Diferencias entre ortogonalidad y función delta de Kronecker?
Posibles duplicados: physics.stackexchange.com/q/89958/2451 , physics.stackexchange.com/q/273423/2451 y enlaces allí.
No es una respuesta (las de abajo son perfectas), sino un poco quisquilloso. El $\delta$ -función no se define de la manera que usted dice, sino por el hecho de que $F (X) = \int_{- \infty}^{\infty} d y F (y) d (X - y)$ $f(x)=\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{d}y\,f(y)\delta(x-y)$ Para todas las funciones de buen comportamiento $f(x)$ . Sé que esto se siente un poco pedante, pero es realmente bueno asegurarse de que solo use su definición como un punto de partida intuitivo para comprender la distribución en contextos físicos ( $\delta$ -potenciales de función o cargas, por ejemplo).
Posible duplicado de ¿Cómo se elige la "normalización" de los estados no normalizables?

alfredo centauro · Answer 1

¿ No es solo de la propiedad de tamizar ?

F (X) = \int d X^{'} F (X^{'}) d (X - X^{'})

$f(x) = \int\mathrm{d}x'\;f(x')\,\delta(x - x')$

Es decir, si acepta lo anterior y si acepta que

| ψ ⟩ = \int d X^{'} ψ (X^{'}) | X^{'} ⟩

$|\psi\rangle = \int \mathrm{d}x'\,\psi(x')\,|x'\rangle$

entonces

ψ (X) = ⟨ X | ψ ⟩ = ⟨ X | \int d X^{'} ψ (X^{'}) | X^{'} ⟩ = \int d X^{'} ψ (X^{'}) ⟨ X | X^{'} ⟩

$\psi(x) = \langle x|\psi\rangle = \langle x| \int \mathrm{d}x'\,\psi(x') \,|x'\rangle = \int \mathrm{d}x'\,\psi(x')\,\langle x|x'\rangle$

\Rightarrow ⟨ X | X^{'} ⟩ = d (X - X^{'})

$\Rightarrow \langle x|x'\rangle = \delta(x - x')$

El argumento no es concluyente. De esta manera solo puedes concluir que $\langle x| x'\rangle - \delta(x,x')$ produce $0$ cuando se mancha con cualquier función, no $\langle x| x'\rangle = \delta(x,x')$ ...
@ValterMoretti: Este punto me interesa, ¿podría dar más detalles?
No hay mucho que elaborar: de $\psi(x) = \int dx' \psi'(x) \langle x|x'\rangle$ y $\psi(x) = \int dx' \psi'(x) \delta(x-x')$ usted obtiene $0 = \int \psi (x') (\langle x|x'\rangle - \delta(x-x'))$ para cada $\psi$ . ¿Implica $\langle x|x'\rangle = \delta(x-x')$ ?
Sin una definición precisa de "función delta", una elección de la clase de funciones relevante, etc., es difícil desarrollar un razonamiento riguroso. Lo que podemos decir es que las manipulaciones formales de los símbolos sugieren que $\langle x|x'\rangle = \delta(x-x')$ .
@ValterMoretti: Debido a que soy nuevo en la notación "ket", la elaboración es útil y el punto parece muy claro. ¿Hay una modificación del argumento que sea concluyente?
Tal vez sea suficiente con este nivel de formalismo, después de todo este es el uso práctico de las matemáticas en la física, no las matemáticas. Como probablemente sepas $\delta$ no es una función y la "definición" que escribiste es inconsistente: si $\delta$ donde una función, ya que $\{x_0\}$ tiene medida cero, se obtendría $\int \delta(x-x_0) dx=0$ incluso si $\delta(0) = \infty$ .
Para hacer concluyente este argumento a este nivel de rigor basta con asumir algún axioma chapucero como este” $\int f(x) g(x) dx=0$ para todos $g$ implica $f(x)=0$ para todos $x$ "...
@ValterMoretti, sus respuestas aquí a menudo están por encima de mi nivel de comprensión, pero siempre disfruto leyéndolas. Gracias por tu voto a favor.

JG · Answer 2

Primero, convénzase de que cualquier espacio vectorial de dimensión finita, en el que pueda pensar fácilmente en una notación más familiar que bra-ket, $\sum_i \left|i\right\rangle\left\langle i\right|$ es el operador de identidad, donde la suma es sobre elementos $\left|i\right\rangle$ de alguna base ortonormal. En efecto,

\sum_{i} | i ⟩ ⟨ i | j ⟩ = \sum_{i} | i ⟩ d_{i j} = | j ⟩

$\sum_i \left|i\right\rangle\left\langle i|j\right\rangle=\sum_i \left|i\right\rangle\delta_{ij}=\left|j\right\rangle$ prueba que la identidad putativa actúa como se esperaba sobre los elementos básicos, y el caso general se sigue de la linealidad. Todo lo que necesitábamos era la condición de ortonormalidad

⟨ i | j ⟩ = δ_{i j}

$\left\langle i|j\right\rangle=\delta_{ij}$ .

A continuación, iremos a un espacio que no solo es de dimensión infinita, sino que tiene un espectro continuo de etiquetas de elementos básicos. Nuestro operador de identidad ahora es una integral en lugar de una suma, $\int dx\left|x\right\rangle\left\langle x\right|$ . Queremos

| X^{'} ⟩ = \int d X | X ⟩ ⟨ X | X^{'} ⟩,

$\left|x'\right\rangle=\int dx\left|x\right\rangle\left\langle x|x'\right\rangle,$ lo cual es claramente cierto si

| x ⟩ ⟨ x | x^{'} ⟩ = δ (x - x^{'})

$\left|x\right\rangle\left\langle x|x'\right\rangle=\delta\left( x-x'\right)$ .

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