Encontrar el número de raíces reales de un polinomio

Quiero encontrar el número de raíces reales de F ( t ) = t 4 − 2 t 2 + 4 t + 1 . Como F ( 0 ) = 1 > 0 , F ( − 1 ) = − 4 < 0 y F ( − 2 ) = 1 > 0 , puedo decir que hay dos raíces reales ya que el polinomio es continuo. Para el resto de las raíces (que son complejas), creo que se puede usar el teorema de Rolle pero no encontré la manera de mostrarlo. ¿Cómo puedo proceder?

¿Cómo descartaste la posibilidad de 3 o más raíces reales?

Respuestas (2)

Bueno, no hay raíces no negativas como F ( t ) = ( t 2 − 1 ) 2 + 4 t , y la regla de los signos de Descartes dice que hay 2 o sin raíces negativas. Como observaste, de hecho hay dos raíces negativas como F ( − 1 ) = − 4 < 0 , por lo que no hay más raíces reales.

Gracias. ¿Hay alguna otra forma de proceder?
No puedo pensar en una manera más simple. Por supuesto, existen formas más complicadas, como verificar el discriminante cuártico, pero parecen exageradas para este caso.

La derivada está dada por F ′ ( t ) = 4 ( t 3 − t + 1 ) entonces las raíces surgen del polinomio cúbico gramo ( t ) := t 3 − t + 1 . Tal polinomio tiene una buena fórmula para el discriminante. Debería poder analizar el número de raíces reales de la derivada. Has averiguado que hay al menos dos raíces reales de F debido a un buzamiento mínimo local por debajo del X -eje. La información sobre la derivada debería permitirle concluir más sobre la forma de F .

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