¿Por qué el método abreviado para verificar la diferenciabilidad no funciona aquí?

Aprendí sobre el método abreviado para verificar la diferenciabilidad de cierto libro hace unos meses.

Estoy ilustrando el método abreviado que aprendí aquí usando un ejemplo:

Es$|x-1/9|^3$diferenciable en$x=1/9$

Para$x>1/9$ $f(x)=(x-1/9)^3$Diferenciar wrt x y poner$x=1/9$.Digamos que el valor de la derivada es$a$.

Para$x<1/9$ $f(x)=-(x-1/9)^3$Diferenciar wrt x y poner$x=1/9$.Digamos que el valor de la derivada es$b$.

Si$a=b$entonces es diferenciable en$x=1/9$

Este método funciona porque$f(x)$es continua en$x=1/9$

Pero recientemente me encontré con una función como:

$f(x)= \begin{cases} 0 & x= 0 \\ 2x+x^2\sin(\frac{1}{x}) &x \neq0 \end{cases}$

A pesar de$f(x)$es continua en$x=0$el método abreviado no parece funcionar aquí.

Para$x>0$ $f'(x)=2+2x\sin(\frac{1}{x})+x^2\cos(\frac{1}{x})(\frac{-1}{x^2})$.

Pero aquí cuando pongo$x=0$,$f'(x)$se vuelve indefinido.

Sin embargo, usando la definición límite de derivada, obtengo el valor de la derivada en$x=0$como$2$.

¿Por qué el método abreviado no es válido aquí? Por otro lado, ¿por qué la definición límite de derivada es válida y funcional? ¿La derivada de$f(x)$realmente existe en$x=0$?