¿Cómo funcionan los marcos de referencia en la relatividad general y se describen mediante sistemas de coordenadas?

La relatividad general solo tiene marcos de referencia locales, no globales. En la relatividad general, los sistemas de coordenadas son totalmente arbitrarios y normalmente no podemos tomar un sistema de coordenadas y relacionarlo de manera significativa con el marco de referencia de algún observador.

En la gravedad newtoniana, existe una suposición implícita de que un observador puede conocer y conoce el estado actual de toda la materia en el universo. Sin esta información, no habría forma de aplicar las leyes de Newton, ya que la gravedad es una fuerza de largo alcance que actúa instantáneamente a distancia, y tampoco habría forma de determinar qué era un marco de referencia inercial. Tradicionalmente, el marco de las "estrellas fijas" se consideraba un marco de referencia inercial lo suficientemente bueno para todos los propósitos prácticos, y se asumía implícitamente que podíamos observar las estrellas instantáneamente, despreciando cualquier posible retraso debido al tiempo que tardaba la luz. propagar. También eran válidos otros marcos de referencia en movimiento uniforme con respecto a este marco. Cada uno de estos marcos de referencia fue descrito por un cierto sistema de coordenadas,

En la relatividad especial, se vuelve más difícil. No podemos observar instantáneamente todo el espacio, pero no necesitamos hacerlo, porque para hacer predicciones sobre nuestro propio vecindario, solo necesitamos conocer las condiciones dentro de nuestro propio cono de luz pasado, es decir, en eventos que son lo suficientemente cerca en el espacio y lo suficientemente atrás en el tiempo para que las señales hayan tenido tiempo de llegar desde ellos hasta nosotros. Por comodidad, solemos seguir adelante y ampliar esta descripción para incluir todo el espacio-tiempo, lo que implica una especie de elaborado sistema de sondeo cuyos resultados conocemos mucho más tarde. Por ejemplo, los topógrafos podrían tener que colocar relojes en varias posiciones y sincronizar los relojes intercambiando señales de radio. El tiempo es relativo, pero para un observador en cierto estado de movimiento, podemos definir una noción de simultaneidad.

En relatividad general, básicamente todo esto se va por la ventana. Es posible que los sistemas de coordenadas no puedan cubrir todo el espacio-tiempo, por la misma razón que no podemos poner un sistema de coordenadas en la superficie de la tierra sin que se comporte mal en ciertos lugares, como los polos. Incluso para los espaciotiempos, como los espaciotiempos cosmológicos FLRW, para los cuales es posible tener un sistema de coordenadas global de este tipo, estas coordenadas no pueden identificarse con observadores o marcos de referencia. Los marcos de referencia existen sólo localmente, es decir, a escalas pequeñas en comparación con la escala establecida por la curvatura del espacio-tiempo. Cuando discutimos lo que un observador "ve" en relatividad general, nos referimos exactamente a eso: las señales ópticas que reciben.

Ejemplo: Un observador fuera de un agujero negro nunca verá la roca que cae a través del horizonte de sucesos. Esto es trivialmente cierto, porque el horizonte de sucesos se define como el límite de la región que no es observable externamente. Esto no significa que el marco de referencia del observador corresponda a un conjunto de coordenadas, o que lo que ve el observador pueda ser explicado por tales coordenadas. Lo que ve el observador se explica simplemente en términos de las trayectorias de los rayos de luz que viajan desde la roca hasta el ojo del observador.

Ejemplo: la relatividad general no nos dice si las galaxias distantes se están alejando "realmente" de nosotros, o si están "realmente" en reposo mientras el espacio intermedio se llena. Solo tenemos un sistema de coordenadas local, no global que nos permitiría definir y medir vectores de velocidad para objetos distantes. Podemos definir cosas como velocidades coordinadas, pero no son particularmente significativas, porque las coordenadas son arbitrarias.

Ejemplo: Dado un espacio-tiempo plano con coordenadas Minkowski$(t,x)$, podemos definir nuevas coordenadas$(t,u)$, dónde$u=ax+(1/4)\sin ax$y$a$es una constante No hay nada de malo con estas coordenadas, porque la transformación es uno a uno y suave, pero estas coordenadas claramente no corresponden al marco de referencia de algún observador.

La gente a menudo se confunde con este tipo de cosas debido a los tratamientos históricos de la relatividad general, incluidas las propias popularizaciones de Einstein. La inspiración original de Einstein para la relatividad general tenía que ver con un conjunto de conceptos que incluían el principio de Mach y la noción de ampliar el conjunto de marcos de referencia permitidos para incluir los acelerados. La relatividad general tiene ahora más de un siglo, y muchas de las vagas inspiraciones originales de Einstein no han resultado ser la mejor manera de pensar sobre estas cosas.

$\let\lam=\lambda \let\th=\theta \def\ns#1#2{#1_{\rm#2}} \def\le{\ns\lam e} \def\lr{\ns\lam r} \def\te{\ns te} \def\tr{\ns tr}$Encontré la auto-respuesta de Ben Crowell muy clara y muy útil para muchas personas que tienen ideas confusas sobre el asunto. Sin embargo, hay algunos puntos en los que no estoy completamente de acuerdo. Limitaré la respuesta actual a un solo punto, la OMI más relevante.

@BenCrowell escribe:

La relatividad general no nos dice si las galaxias distantes se están alejando "realmente" de nosotros, o si están "realmente" en reposo mientras el espacio intermedio se llena.

Creo que esto no es exacto. Repasemos brevemente el asunto. La estructura aceptada del espacio-tiempo a escala cosmológica se describe mediante una geometría de Robertson-Walker. Dejo a un lado a los otros dos fundadores, Friedmann y Lemaitre, ya que solo me preocupa la estructura geométrica, sin considerar qué la causa: sin hipótesis sobre la calidad y distribución de la materia, sin ecuaciones de Einstein. Sólo necesito el principio cosmológico, es decir, la suposición de que el espacio (¡no el espacio-tiempo!) es homogéneo e isotrópico. Esto implica, como ya dije, que el espacio-tiempo tiene una geometría RW.

Hay varios sistemas de coordenadas en uso para la geometría RW. Elegiré lo siguiente:

$$ds^2 = dt^2 - a(t)^2 (dr^2 + \cdots) \tag1$$ (los puntos se quedan para la parte angular de la métrica que no usaré).

Mirando la métrica (1) se muestra un punto sobre la elección de las coordenadas. Es perfectamente cierto que en GR las coordenadas son completamente arbitrarias y no están obligadas a tener una interpretación física. A pesar de esto, en varios casos una elección juiciosa de coordenadas puede revelar características importantes de una geometría. En nuestro caso, podemos ver claramente que hay una elección de la coordenada temporal (llamada tiempo cósmico ) tal que las secciones de tiempo igual (lo que podemos llamar brevemente espacio ) están dotadas de una rica simetría, la contrapartida matemática de la homogeneidad y la isotropía. requisitos

La homogeneidad se refleja en el espacio que tiene una curvatura constante (que no debe confundirse con la curvatura del espacio-tiempo). En cuanto a este punto, la geometría RW puede ser de tres tipos:

• curvatura positiva, siendo el espacio una hiperesfera
• curvatura nula - un espacio euclidiano plano
• curvatura negativa, es decir, geometría hiperbólica

En la ec. (1) los tres tipos no son aparentes, ya que su diferencia está en la parte angular de la métrica. Es bien sabido que en la actualidad el modelo aceptado es un espacio plano, pero la elección del modelo no es relevante para mi argumento.

el coeficiente$a(t)$cuyo cuadrado multiplica la parte espacial de la métrica en la ec. (1) se llama el factor de escala . Su valor es una medida de cómo la curvatura del espacio depende del tiempo y la expresión exacta de la función.$a(t)$Sólo puede derivarse de la dinámica cosmológica , es decir, de las ecuaciones de Einstein junto con hipótesis sobre el tipo de materia presente en el universo. No me ocuparé de eso. asumiré$a(t)$es conocida y voy a exponer algunas consecuencias de que no sea una constante. Por lo general, se supone que el factor de escala es igual a 1 en la actualidad.

Se puede demostrar que las líneas con$r$,$\th$,$\phi$constantes son las geodésicas del espacio-tiempo. Entonces, un objeto libre (una galaxia) puede permanecer en esas coordenadas ( commóviles ). Si$r$-el origen está en nuestra posición, entonces la distancia de ese objeto a nosotros es$a(t)\,r$. Una variación de$a$con el tiempo implica una variación proporcional de la distancia de esa galaxia.

Si la luz procedente de un objeto lejano nos llega en el momento actual, observamos un corrimiento al rojo cosmológico : longitud de onda recibida$\lr$es mayor que la longitud de onda emitida$\le$y se cumple una simple ley:

$${\lr \over \le} = {a(\tr) \over a(\te)}$$ dónde$\te$es el momento en que se emitió la luz,$\tr$es tiempo presente (recibido).

En mi opinión, parece claro que en este entorno la interpretación más natural es que el espacio se está expandiendo (factor de escala$a(t)$es creciente) mientras que las galaxias ocupan una posición fija en coordenadas comóviles. Para adoptar la visión alternativa -el espacio no se expande, las galaxias se mueven en él- sería necesario exhibir un sistema de coordenadas adecuado donde la métrica sea estática (coeficientes métricos independientes del tiempo) y las coordenadas de todas las galaxias dependan del tiempo. No conozco tal sistema y sospecho que no existe. Estoy esperando a que se demuestre lo contrario.