¿Son todavía necesarias las fuerzas ficticias en la relatividad general?

Question

¿Son todavía necesarias las fuerzas ficticias en la relatividad general?

tratando de ser bestial

De acuerdo con la wiki de la fuerza ficticia ,

"Las fuerzas ficticias surgen en la mecánica clásica y la relatividad especial en todos los marcos no inerciales. Los marcos inerciales son privilegiados sobre los marcos no inerciales porque no tienen física cuyas causas están fuera del sistema, mientras que los marcos no inerciales sí. Fuerzas ficticias, o físicas cuya causa está fuera del sistema, ya no son necesarias en la relatividad general puesto que estas físicas se explican con las geodésicas del espacio-tiempo".

Sin embargo, @VincentThacker no estuvo de acuerdo con esto en un comentario a una respuesta . Cuando le pregunté si las fuerzas ficticias son necesarias en la relatividad general, su declaración de dos comentarios (cotejados) fue la siguiente:

"Sí, porque la aceleración adecuada no se puede establecer en cero mediante una transformación de coordenadas. En GR, la gravedad es el resultado del espacio-tiempo curvo y las geodésicas, por lo que no es una fuente de aceleración adecuada. Sin embargo, si un observador tiene una aceleración adecuada distinta de cero , los objetos cercanos parecerán tener una aceleración (coordenada) ficticia. El ejemplo más sencillo es la superficie de la Tierra. La superficie de la Tierra está acelerando radialmente hacia afuera con la aceleración adecuada g, por lo que vemos que los objetos en caída libre "aceleran" en − g. Vea mi respuesta aquí ".

Entonces, ¿son necesarias las fuerzas ficticias para los cálculos correctos en relatividad general o no?

Descargo de responsabilidad: no entiendo nada de relatividad general. Solo entiendo relatividad especial.

Respuestas (2)

¿Son todavía necesarias las fuerzas ficticias en la relatividad general?

j murray · Answer 1

La generalización de la segunda ley de Newton a la relatividad general viene dada por

metro \frac{d^{2} X^{m}}{d τ^{2}} + metro Γ_{α β}^{m} \frac{d X^{α}}{d τ} \frac{d X^{β}}{d τ} = F^{m} (⋆)

$m \frac{d^2 x^\mu}{d\tau^2} + m \Gamma^\mu_{\alpha\beta} \frac{dx^\alpha}{d\tau} \frac{dx^\beta}{d\tau} = f^\mu \qquad (\star)$ dónde

τ

$\tau$ es el tiempo adecuado a lo largo de la línea de tiempo de la partícula,

f

$f$ es la fuerza neta 4 que actúa sobre la partícula, y

Γ_{α β}^{μ}

$\Gamma^\mu_{\alpha\beta}$ son los símbolos de Christoffel correspondientes a su elección de coordenadas.

En coordenadas cartesianas inerciales, todos los $\Gamma$ s son iguales a cero, lo que significa que

metro \frac{d^{2} X^{m}}{d τ^{2}} = F^{m}

$m \frac{d^2x^\mu}{d\tau^2} = f^\mu$ Si selecciona diferentes coordenadas en las que el

Γ

$\Gamma$ s no son cero, entonces obviamente necesitará incluir ese término adicional. Esto sucede si usa coordenadas polares, por ejemplo, pero también ocurre cuando usa coordenadas cartesianas aceleradas . En el último caso, lo que puedes hacer es simplemente mover los términos adicionales al otro lado de la ecuación y llamarlos pseudofuerzas :

metro \frac{d^{2} X^{m}}{d τ^{2}} = F^{m} - \underset{pseudofuerza}{\underset{⏟}{metro Γ_{α β}^{m} \frac{d X^{α}}{d τ} \frac{d X^{β}}{d τ}}}

$m \frac{d^2 x^\mu}{d\tau^2} = f^\mu - \underbrace{m \Gamma^\mu_{\alpha\beta} \frac{dx^\alpha}{d\tau} \frac{dx^\beta}{d\tau}}_{\text{pseudoforce}}$

Ejemplo: Las coordenadas que corresponden a un observador relativista sometido a una aceleración propia constante son las coordenadas de Rindler . En este sistema de coordenadas, suponiendo una aceleración adecuada $a_0$ a lo largo de $x$ -eje, el elemento de línea se convierte en

d s^{2} = - {(1 + \frac{a_{0} X}{C^{2}})}^{2} C^{2} d t^{2} + d X^{2} + d y^{2} + d z^{2}

$ds^2 = -\left(1+ \frac{a_0 x}{c^2}\right)^2 c^2dt^2 + dx^2+dy^2+dz^2$ Los símbolos de Christoffel distintos de cero son

Γ_{10}^{0} = Γ_{01}^{0} = \frac{a_{0} / C^{2}}{1 + a_{0} X / C^{2}} Γ_{00}^{1} = (1 + \frac{a_{0} X}{C^{2}}) a_{0}

$\Gamma^0_{10} = \Gamma^0_{01} = \frac{a_0/c^2}{1+a_0 x/c^2}\qquad \Gamma^1_{00} = \left(1+\frac{a_0 x}{c^2}\right)a_0$ lo que significa que la generalización relativista de la segunda ley de Newton para

x

$x$ es

metro (\frac{d^{2} X}{d τ^{2}} + a_{0} \frac{1 + \frac{a_{0} X}{C^{2}}}{1 + \frac{a_{0} X}{C^{2}} - \frac{v^{2}}{C^{2}}}) = F_{X}

$m \left(\frac{d^2x}{d\tau^2} + a_0 \frac{1+\frac{a_0 x}{c^2}}{1+ \frac{a_0 x}{c^2} - \frac{v^2}{c^2}}\right) = f_x$

En el límite no relativista, esto se convierte en

metro (\frac{d^{2} X}{d t^{2}} + a_{0}) = F_{X} ⟺ metro \frac{d X^{2}}{d t^{2}} = F_{X} \underset{pseudofuerza}{\underset{⏟}{- metro a_{0}}}

$m \left(\frac{d^2 x}{dt^2} + a_0\right) = f_x \iff m \frac{dx^2}{dt^2} = f_x \underbrace{ -\ m a_0}_{\text{pseudoforce}}$

que es exactamente lo que tendríamos que hacer en la mecánica newtoniana si quisiéramos cambiar a un marco no inercial acelerando con $\mathbf a = a_0 \hat x$ .

Entonces, en resumen, tiene las siguientes opciones:

Elija un sistema de coordenadas en el que todos los $\Gamma$ s desaparecen, es decir, un marco inercial global. Dichos marcos generalmente no existen en el espacio-tiempo curvo, por lo que solo puede hacerlo en el contexto de SR.
Reconocer y aceptar que el lado izquierdo de $(\star)$ tiene términos adicionales debido a la $\Gamma$ s, que reflejan el hecho de que su base de coordenadas cambia con la posición. Si alguna vez ha construido las leyes de Newton en coordenadas polares, esto es lo que debe hacer.
Mover el término $m\Gamma^\mu_{\alpha\beta}\frac{dx^\alpha}{d\tau} \frac{dx^\beta}{d\tau}$ al lado derecho de la ecuación y llámela pseudofuerza. Si alguna vez ha construido las leyes de Newton en un marco no inercial, esto es lo que probablemente hizo.

En el espacio-tiempo curvo general, no puedes escapar de la $\Gamma$ s por lo que sus opciones están limitadas a 2 y 3. Cuando el artículo Wiki dice que no necesita pseudofuerzas , significa que puede elegir la opción 2, no que puede ignorarlas por completo.

Finalmente, aunque en GR no puedes hacer el $\Gamma$ s desaparecen en todas partes , siempre puede hacer una elección instantánea de coordenadas para que desaparezcan en un punto . Como resultado, en cualquier instante dado de tiempo puede elegir coordenadas tales que $f^\mu_{\mathrm{pseudo}} \equiv -m \Gamma^\mu_{\alpha\beta} \frac{dx^\alpha}{d\tau} \frac{dx^\beta}{d\tau} = 0$ . Porque $f^\mu_{\mathrm{pseudo}}$ puede establecerse en cero mediante una transformación de coordenadas, sabemos que no es un vector de 4 porque si un vector de 4 desaparece en un sistema de coordenadas, debe desaparecer en todos los sistemas de coordenadas. Esta es la distinción matemática entre las fuerzas reales, que son 4 vectores y, por lo tanto, objetos geométricos independientes de las coordenadas, y las pseudofuerzas , que pueden verse como artefactos de su elección de coordenadas.

gandalf61 · Answer 2

Puede definir una transformación de coordenadas que haga que la aceleración adecuada sea localmente cero y, por lo tanto, cree un marco de referencia inercial local . En SR, donde el espacio-tiempo es plano, esto se puede extender a un marco de referencia inercial global, un marco de referencia que sigue siendo inercial cuando te alejas del origen. Pero en GR, en general, no puede extender un marco de referencia que es localmente inercial a uno que es globalmente inercial en todas partes (aunque esto puede ser posible con algunas métricas de espacio-tiempo específicas).

Entonces, ¿@VincentThacker tiene razón y el artículo de Wikipedia está equivocado?
@AbuSafwan Tal vez Wikipedia esté hablando localmente, mientras que Vincent está hablando globalmente.
@AbuSafwan (1) En el espacio-tiempo plano (Minkowski), no hay nada que te impida elegir coordenadas con fuerzas ficticias. El problema es que siempre puede elegir un marco en el que las leyes de inercia se mantengan en todas partes y en todo momento . (2) Sin embargo, en el espacio-tiempo curvo, solo puede elegir un marco inercial en un punto del espacio-tiempo . Esto significa no solo un punto en el espacio, sino también un punto en el tiempo. El punto clave es que en el espacio-tiempo curvo, la aceleración incorrecta surge debido a dos razones: la curvatura del espacio-tiempo y la elección de las coordenadas, que se explica en la respuesta de J. Murray.
@AbuSafwan Según tengo entendido, la primera razón, la curvatura del espacio-tiempo, se llama gravedad , mientras que la segunda razón, la elección de coordenadas, se llama "fuerzas ficticias". Sin embargo, ambos efectos están codificados en los símbolos de Christoffel, por lo que es difícil distinguirlos solo de los símbolos.

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