¿Cómo representar la masa reducida en la forma de espacio curvo, mientras se estudia un sistema de dos cuerpos en GR?

El movimiento de un sistema de dos cuerpos bajo sus fuerzas internas (suponiendo que no haya fuerzas externas) se puede estudiar mediante el análisis de Lagrange.

Suponemos que ambos cuerpos experimentan fuerzas iguales y opuestas y giran alrededor del centro de masa común. Luego, las ecuaciones diferenciales que describen las órbitas (ver (1), (2) y (3) en la imagen ) tienen los términos de masa reducida para representar el movimiento combinado de ambas masas.

En estas ecuaciones, si asumimos que la masa central es muy grande en comparación con la masa del planeta, entonces el término masa del planeta ( m2 ) desaparece y las ecuaciones de órbita se vuelven dependientes solo de la masa del cuerpo central ( m1 ). Esta situación es similar a los resultados de la solución de Schwarzschild (ecuación (4) en la imagen ) para una gran masa central. El análisis GR sugiere que el espacio-tiempo alrededor de la gran masa central se curva y, por lo tanto, los planetas tienen que seguir necesariamente una trayectoria curva. La naturaleza de la trayectoria curva es independiente de la masa del planeta. Por lo tanto, incluso la trayectoria de un fotón (que tiene masa cero) tiene que doblarse ya que el espacio mismo es curvo.

Pero también podemos tener una situación en la que la masa del planeta no sea muy pequeña en comparación con la estrella central. Entonces, según el análisis clásico, habrá que considerar la rotación de ambos cuerpos alrededor del centro común. En un análisis clásico, este sistema de dos cuerpos se puede representar matemáticamente como una sola masa reducida que gira alrededor del centro. De manera similar, un análisis para el sistema de dos cuerpos, basado en GR, también debe considerar la curvatura resultante creada por ambas masas.

La pregunta es: ¿Cómo incluir el término de masa reducida en el análisis GR? Esto es necesario para garantizar que los resultados del análisis clásico y GR sean coherentes entre sí.

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Respuestas (2)

La respuesta corta es que el problema completo de dos cuerpos es increíblemente difícil en GR.

Ciertamente, podemos tomar el límite newtoniano de partículas puntuales de GR. En este caso, el problema se reduce a la gravedad newtoniana con una serie de correcciones relativistas; y en el límite donde las velocidades de las partículas son mucho menores que C y sus separaciones son grandes en comparación con sus radios de Schwarzschild, todas estas correcciones desaparecen, dejando el límite newtoniano esperado

r → ¨ i = − ∑ j ≠ i metro j ( r → j − r → i ) | r → j − r → i | 3
(en unidades donde GRAMO = C = 1 .) Entonces, en este régimen, la noción de masa reducida seguirá siendo útil y válida; y en este límite, la gravedad newtoniana concuerda con GR, como debe ser.

Sin embargo, si desea hacer una situación en la que dos objetos fundamentalmente no newtonianos orbitan entre sí, eso requiere una gran cantidad de código informático y experiencia. El principal ejemplo que ha consumido mucha sangre, sudor y lágrimas en el campo GR durante los últimos 20 años es la simulación de dos agujeros negros orbitando entre sí y girando en espiral hacia adentro debido a la radiación gravitacional. En un espacio-tiempo fuertemente curvado como este, las nociones newtonianas familiares como el centro de masa de un sistema y la masa total de un sistema (por no hablar de la masa reducida) son notablemente difíciles, si no imposibles, de definir. Pero estos son regímenes en los que no esperamos que los resultados de la gravedad newtoniana se mantengan de todos modos.

Gracias. Será interesante saber cómo los resultados GR (usando la métrica de Schwarzschild) pueden coincidir con los resultados clásicos (usando la masa reducida) para un planeta grande como Júpiter. El término masa del planeta no aparece en las ecuaciones geodésicas. Creo que los resultados clásicos coincidirán mejor con las observaciones experimentales, ya que tiene en cuenta el movimiento de ambas masas. Alternativamente, podemos reemplazar la masa de la estrella M por la masa total (M+m) en la ecuación geodésica (4) (ver la imagen adjunta) para que coincida con la ecuación (1) del análisis clásico.

Podemos (?) realizar el análisis GR del problema de dos cuerpos en dos pasos:

  1. Descubra las ecuaciones geodésicas (análisis GR) para las órbitas del segundo cuerpo (un gran planeta como Júpiter), asumiendo que el primer cuerpo (Sol) está fijo en el centro. Ubícalos en un gráfico. Según la relatividad, se debe permitir trabajar en cualquier marco. En cualquier caso, un observador que realiza mediciones (en la Tierra) no está ni en la estrella ni en el marco del centro de masa de esa combinación planeta-estrella.

  2. Transferir (o transformar) geométricamente las órbitas al marco del centro de masa. Podemos dibujar otro gráfico midiendo la distancia entre varios puntos en la órbita y el centro de masa usando el primer gráfico. La precesión de las órbitas, si las hay, también se transferirá al gráfico del marco del centro de masa.

Este enfoque puede ser más fácil, si una transformación/análisis matemático directo de un sistema de dos cuerpos es difícil.

El problema es "¿cuál es el centro de masa de un agujero negro de Schwarzschild y un cuerpo masivo?" No tiene una buena definición en GR completo. Si está interesado en las aproximaciones al problema de los dos cuerpos, con correcciones relativistas, le sugiero que estudie el marco post-newtoniano, que comienza con la mecánica newtoniana y agrega las correcciones GR como una serie.
@Jerry Schirmer Gracias por sus comentarios
¿Cómo representar la masa reducida en la forma de espacio curvo, mientras se estudia un sistema de dos cuerpos en GR?
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