¿Por qué no existe un marco de referencia global para GR?

Utiliza el término marco de referencia , pero debemos tener cuidado con lo que queremos decir con esto. En relatividad especial, esta frase generalmente significa un marco inercial , es decir, un marco en el que se aplica la primera ley de Newton . En GR, obviamente, no podemos tener un marco inercial global porque los objetos se aceleran (debido a la gravedad) cuando están cerca de una masa, por lo que su comportamiento no es inercial y no obedece la primera ley de Newton.

El significado más apropiado de marco de referencia es como un sistema de coordenadas , es decir, cualquier sistema de coordenadas que podamos usar para describir posiciones en el espacio-tiempo. De hecho casi podemos tener un sistema de coordenadas global pero casi siempre contendrá singularidades que lo rompen.

Para hacer una analogía simple, considere el sistema de coordenadas que usamos para describir posiciones en la Tierra, es decir, la longitud y la latitud. Ahora pregunta cuál es la longitud de los polos norte y sur. El problema es que todas las líneas de longitud se encuentran en los polos, por lo que la longitud no está definida allí. Nuestras coordenadas son singulares en los polos. No hay nada singular en la Tierra en los polos, el problema está en nuestras coordenadas, pero significa que nuestras coordenadas no pueden cubrir toda la Tierra porque no funcionan en los polos. Algo similar (aunque algo más complicado) sucede en el horizonte de sucesos de un agujero negro.

Las singularidades de coordenadas se pueden eliminar cambiando el sistema de coordenadas; sin embargo, en la relatividad general también encontramos singularidades que no se deben a peculiaridades de las coordenadas. Por ejemplo, la singularidad en el centro de un agujero negro es una verdadera singularidad y ningún sistema de coordenadas funcionará allí. Así que todo el sistema de coordenadas que podamos idear se romperá en la singularidad.

Mencionas la expansión del universo: esto tiene un punto singular en el Big Bang, es decir, en$t = 0$. En este punto obtenemos el resultado bastante sorprendente de que el espacio entre cada punto del universo es cero. Nuevamente, ningún sistema de coordenadas funcionará en este punto.

Estrictamente hablando, excluimos los puntos singulares de la variedad que usamos para representar el espacio-tiempo, es decir, el universo consiste en todas partes excepto en las (verdaderas) singularidades. Con esta definición podemos tener un sistema de coordenadas global porque los lugares donde se descompone están excluidos por definición.

En la relatividad general puede que no haya un marco de referencia general que tenga el mismo aspecto que un marco de referencia inercial en la relatividad especial. Y la razón fundamental en el fondo es que no asumimos que tenía que haberlo, por lo tanto, no tenía que suceder. Si una solución particular a la ecuación de Einstein tiene uno o no, depende de experimentar para determinar.

¿Por qué no existen o qué está pasando de otra manera para que digamos que no están? Específicamente, no puedes simplemente tomar derivadas parciales de las cosas con respecto a tus coordenadas como lo haces en la relatividad especial. Debido a que las coordenadas en la relatividad general son solo una parte de la historia, en realidad usa la métrica de una manera no trivial para obtener sus resultados.

Y mientras que en la relatividad especial cualquier marco que se moviera a una velocidad uniforme en relación con un marco inercial también era inercial y, por lo tanto, igual de bueno, esta manera fácil de obtener marcos tan buenos no se sostiene tan simplemente en la relatividad general.

La relatividad general te da dos opciones. La primera opción es trabajar con cualquier sistema de coordenadas y usar el tensor métrico en ese sistema de coordenadas antes de obtener los resultados. O bien, la opción dos es que puede trabajar con marcos definidos en una pequeña región (de espacio y tiempo) parametrizada por un factor h donde el tensor métrico está muy cerca de la métrica de la relatividad especial para que pueda calcular sus resultados como en SR hasta errores de segundo orden en h (por lo que puede hacerlos tan pequeños como desee haciendo que h sea lo suficientemente pequeño). Y si elige la segunda opción, puede elegir muchos marcos en cada región pequeña (para cada parámetro h) que se diferencian entre sí por las transformaciones estándar de SR Lorentz (hasta un orden en h).

Ahora pasemos a las cosas que le han dicho. La expansión no tiene nada que ver, absolutamente nada. La curvatura tampoco es realmente el problema. Si el universo fuera como un universo de pac-man (da la vuelta en la dirección x y regresa a donde estás, pero localmente todo parece un espacio plano ordinario), es posible que no tengas un sistema de coordenadas global aunque tu espacio pueda ser plano. Y sí, las ecuaciones de GR permiten que el universo sea plano en todas partes y, sin embargo, si viajas a una región, regresas a donde estabas. Cuando dice que una variedad es plana, eso no significa que no se vería curvada si la incrustara dentro de una dimensión más grande (esa es una curvatura extrínseca que depende de su incrustación), se trata de una curvatura intrínseca que es totalmente diferente. Por ejemplo, la superficie de una esfera está curvada positivamente y puedes darte cuenta porque si tratas de coserle un parche, necesitas cortar partes. Y la superficie de un sillín tiene una curvatura negativa y puedes darte cuenta de esto porque si tratas de hacer una cubierta para un sillín con tela plana, necesitarás cortar hendiduras en la tela y agregar más tela a las hendiduras. Pero la superficie de un cilindro es verdaderamente plana (intrínsecamente). Esa es solo una medida escalar de la curvatura (curvatura escalar positiva, negativa o cero) y la medida completa de la curvatura proviene de cómo cambian los vectores transportados (virtualmente) a lo largo de los bucles.n n*(n-1)/2) números para dar completamente la geometría de la curvatura (en realidad, hay algunas otras simetrías, por lo que no necesita tantas, n n (n*n-1)/12, por lo que solo 20 números para nuestro universo). Pero el punto real es que incluso si cada vector alrededor de cada bucle puede formar el mismo ángulo con el bucle y terminar de nuevo en sí mismo (una propiedad local), aún es posible terminar donde comenzó si hace un viaje largo.

Dicho esto, puede usar un solo sistema de coordenadas para todo su espacio-tiempo en muchas situaciones en las que la gente podría querer decir que no puede. Por ejemplo, puede tener un espacio-tiempo sin materia y sin campos que no sean la gravedad con una onda gravitacional que va en, digamos, la dirección x. Es curvo pero hay un sistema de coordenadas global. Incluso podría poner un campo electromagnético en la misma dirección y así tener un espacio-tiempo que no esté vacío. Y estas son soluciones reales que se han encontrado, no solo soluciones hipotéticas.

Puede tener un universo en expansión con un sistema de coordenadas de (x,y,z,log t) donde (x,y,z) son las coordenadas FLRW habituales y t es el tiempo FLRW habitual con t=0 el big bang. Este sistema de coordenadas cubre todo lo que se puede cubrir. Si usaste el sistema de coordenadas (x, y, z, log (t-1)), entonces te perderías todas las cosas que sucedieron antes de un segundo. Pero con el sistema de coordenadas (x,y,z,log t) hay un invariante de curvatura que explota cuando log t tiende a infinito negativo, por lo que no podemos extender más nuestro sistema de coordenadas.

Esto es lo que son las verdaderas singularidades. Son curvas de longitud métrica finita (o tiempo métrico finito) que recorren todo el camino fuera de su sistema de coordenadas en esa longitud finita (o tiempo finito) y tienen invariantes locales de cosas que se pueden medir explotan a medida que sale del sistema de coordenadas para que sepamos que su sistema de coordenadas no se pudo extender.

Si tomó una cantidad infinita de tiempo o espacio para salir de su sistema de coordenadas, eso no sería extraño, y si tomó una longitud finita, pensaría que simplemente lo hizo mal y omitió algo, pero si un invariante local explota en el salida entonces era inevitable. Y un invariante es una medida que es finita cuando la curvatura es finita pero no depende del sistema de coordenadas que utilice.

Así que solo tienes que usar el tensor métrico. Y la curvatura no es un problema (ahora tiene ejemplos con curvatura con coordenadas globales) y expandir el espacio no es un problema (tiene un ejemplo con un solo sistema de coordenadas que no se puede extender). Y en algún momento no hay un sistema de coordenadas global (por razones de estilo pac-man) que pueda ocurrir incluso cuando los 20 componentes de curvatura independientes son cero en todas partes, sin curvatura.

La verdadera razón es que hicimos una teoría sobre medidas locales. Así que nos dimos la libertad de tener sistemas sin un sistema de coordenadas global. Si necesitábamos esa libertad depende de lo que vemos en el universo, si vemos evidencia de pac-man podemos manejarlo sin cambiar la teoría.

En resumen, @MikeH, digo que para las medidas locales hay marcos que son aproximadamente como los marcos de SR. Y que globalmente hay marcos que son diferentes, por ejemplo, los cuerpos que se mueven inercialmente y que comienzan siendo tangentes podrían acercarse entre sí. Si acepta estos marcos como normales, entonces la única razón conocida por la que no puede usarlos es si el universo tiene cosas extrañas como agujeros de gusano o días de la marmota o un espacio de estilo pac-man. Para todos esos, podrías decir que simplemente terminas en un universo que se ve igual pero en realidad es diferente, por lo que no estoy seguro de que alguna vez te veas obligado a usar marcos locales.

En realidad, un sistema de coordenadas global es posible. La mayoría de los tratamientos de GR se basan en el concepto de variedad, enfatizando que los sistemas de coordenadas son (en general) solo locales. Sin embargo, los teoremas de incrustación de Whitney muestran que cualquier variedad puede estar incrustada en$R^n$para algún entero positivo$n$. Quizás el cartel original no se ofenda si agrego una pregunta fuertemente relacionada: supongamos que establecemos un sistema de coordenadas local y, desde su origen, observamos una partícula que se mueve a través del espacio. Cuando la partícula se mueve cerca de los límites del parche local que contiene nuestro origen, ¿cómo continuamos describiendo la trayectoria relativa de la partícula a medida que se mueve hacia el parche adyacente y sale del nuestro? Por supuesto, esto no sería un problema en$R^n$, pero solo si insistimos en medidas solo intrínsecas a la variedad original.