Coordenadas para la métrica FLRW

Question

Coordenadas para la métrica FLRW

Física
cosmología
expansión espacial
marcos de referencia
sistemas coordinados
relatividad general

Shadumu

En GR, las coordenadas son solo una herramienta para describir la física, deberían ser equivalentes. Sin embargo, en la forma estándar de la métrica FLRW, se puede inferir que el universo se está expandiendo, pero podemos hacer una transformación de coordenadas para hacer que la parte espacial sea estática o cambie de forma diferente con respecto al tiempo. ¿Existe una noción de universo en expansión que no dependa de coordenadas?

Juan Rennie

Me temo que no me queda claro a qué te refieres. ¿Puede reformular su pregunta de una manera más matemática para aclarar exactamente lo que está preguntando? ¿Estás comparando las diferentes interpretaciones de la expansión dada por las coordenadas de comovimiento y las coordenadas "cotidianas"?

hipnótico

¿Qué quiere decir con "por qué nosotros en la Tierra solo confirmamos las coordenadas estándar utilizadas en la métrica FLRW a través de nuestra observación"? ¿De qué observaciones estás hablando? Tanto en la relatividad especial como en la general, todos los sistemas de coordenadas predicen las mismas cosas sobre las observaciones físicas locales, como la hora adecuada en el reloj de un observador en el momento en que recibe la luz de varios eventos distantes.

Shadumu

lo que quiero decir es que el hecho de que el universo se expanda como observamos solo se predice mediante la métrica FLRW en ciertas coordenadas especiales. Si hago una transformación de coordenadas, el espacio podría ser estático. ¿Significa eso que estamos en un marco especial?

kyle kanos

@user3229471: debe editar su comentario en la publicación.

hipnótico

Pero, ¿qué quiere decir con que el "universo se está expandiendo como lo observamos"? ¿De qué observaciones físicas específicas estás hablando? Si expresa las cosas en términos de observaciones locales como la relación entre el corrimiento al rojo de una galaxia y el brillo aparente de las velas estándar en ella (que se puede usar para deducir la distancia en el sistema de coordenadas cosmológicas estándar), entonces todos los sistemas de coordenadas predicen lo mismo. resultados para estas observaciones locales, incluso si las observaciones no tienen el mismo significado en términos de distancias de coordenadas, etc.

Shadumu

@Hypnosifl Veo tu punto. Pero, ¿por qué esta coordenada en particular se usa para describir la métrica pero no cualquier otra coordenada?

hipnótico

Estoy seguro de que podría usar un conjunto diferente de coordenadas para expresar la métrica, pero probablemente sería más complicado matemáticamente. Si desea ver específicamente un ejemplo de la métrica FLRW expresada en un sistema de coordenadas diferente (con una definición diferente de simultaneidad, cada hipersuperficie espacial tendría una curvatura diferente que las hipersuperficies de simultaneidad del sistema de coordenadas cosmológicas estándar), puede Considere hacer una nueva pregunta sobre esto, tal vez alguien aquí sepa de algún ejemplo publicado, o podría construir uno por sí mismo.

Cristóbal

¿Soy el único que encuentra esta pregunta perfectamente clara? La respuesta que iba a escribir (en realidad comencé) habría mostrado cómo el tiempo cosmológico y la distancia adecuada a lo largo de los cortes espaciales asociados son especiales y por qué el espacio-tiempo FLRW no es el espacio de Minkowski, a pesar de que el tiempo conforme y las coordenadas comóviles lo hacen parecer de esa manera.

Shadumu

@Hypnosifl, ¿qué pasa con la contracción de longitud en SR, crees que es física o simplemente una cuestión de diferentes distancias de coordenadas? ¿Qué pasa si la métrica FRW se propuso por primera vez en algunas otras coordenadas? Podríamos cambiar la forma en que pensamos sobre la evolución del universo, el espacio podría estar reduciéndose o estático en algunas coordenadas, aunque la métrica/física sigue siendo la misma.

Jim

Estoy confundido, la expansión del universo es una conclusión que se puede sacar de forma independiente de las coordenadas. Podemos ver la expansión de la métrica sin elegir las coordenadas.

d s^{2} = - d t^{2} + a (t)^{2} d Σ^{2}

$ds^2=-dt^2+a(t)^2d\Sigma^2$ . Esto muestra que las dimensiones espaciales se expanden con el factor de escala y

d Σ

$d\Sigma$ es independiente de las coordenadas. Entonces tal vez entendí mal la pregunta.

Shadumu

@Jim, puede hacer una transformación general de coordenadas en la que las coordenadas t y espaciales se mezclan, el nuevo conjunto de coordenadas es igualmente bueno pero la interpretación puede ser diferente, aunque la física es la misma.

Jim

¿No sería esa la métrica FLRW? Tal vez sea necesaria una demostración. ¿Podría dar un ejemplo de una métrica FLRW transformada? o al menos solo el

g_{μ ν}

$g_{\mu\nu}$ ?

Shadumu

@Jim Lo siento, no puedo darte la métrica, solo estoy pensando que, en principio, puedes hacerlo. Eres libre de elegir una coordenada para describir la misma métrica. Es solo que sus interpretaciones podrían ser diferentes, al igual que la longitud de una barra tendrá valores diferentes en diferentes marcos en SR.

Jim

Ah, ahora entiendo. Creo que sería más un problema con la transformación de coordenadas. El sistema transformado podría ser no físico o estar en un movimiento complicado, no inercial y asimétrico. Pero creo que en todos los casos durante largos períodos de tiempo, la métrica FLRW siempre parece estar en expansión. Sin embargo, no tengo una prueba matemática en mente para respaldar esa afirmación.

hipnótico

@ user3229471: diría que la contracción de la longitud depende de la elección de la convención de simultaneidad que depende de las coordenadas, aunque se le da una curva espacial entre los puntos en las líneas de mundo de cada extremo de un objeto (una curva que estaría confinada a una sola simultaneidad superficie si fue concebida como una medida de "longitud" instantánea en algún sistema de coordenadas), la distancia adecuada a lo largo de esa curva espacial es independiente de las coordenadas (al igual que el tiempo adecuado a lo largo de las curvas temporales es independiente de las coordenadas).

Shadumu

@Jim piensa en la solución constante cosmológica positiva Lambdavacuum. En algunas coordenadas, el universo parece estático, mientras que en otras, el universo se expande. ruego que le pasen cosas parecidas a FRW

hipnótico

Por cierto, conozco un caso especial que podría interesarle: en el sistema de coordenadas estándar para los universos FLRW, la curvatura del espacio en cada superficie de simultaneidad es hiperbólica siempre que la densidad de masa está por debajo de un valor crítico, y esto es cierto incluso cuando la densidad tiende a cero. Esto se conoce como el modelo de Milne , pero en realidad es solo un sistema de coordenadas diferente en el espacio-tiempo plano de Minkowski. El segundo diagrama grande aquí muestra cómo se ven las líneas de simultaneidad cuando se trazan en un marco inercial.

Shadumu

@Hypnosifl, de hecho, cuando usamos otro marco y hablamos sobre si las estrellas se están alejando de nosotros, debemos asegurarnos de la simultaneidad cuando medimos, luego podemos obtener diferentes conclusiones según el marco que elijamos, al igual que la contracción de longitud. Lo que observamos es corrimiento al rojo y debería ser independiente de las coordenadas, pero cuando proponemos el modelo FRW para ajustar los datos, somos libres de elegir una coordenada para describirlo. En algunos de ellos, podemos decir que el universo no se está expandiendo.

Respuestas (3)

Coordenadas para la métrica FLRW

Me temo que no me queda claro a qué te refieres. ¿Puede reformular su pregunta de una manera más matemática para aclarar exactamente lo que está preguntando? ¿Estás comparando las diferentes interpretaciones de la expansión dada por las coordenadas de comovimiento y las coordenadas "cotidianas"?
¿Qué quiere decir con "por qué nosotros en la Tierra solo confirmamos las coordenadas estándar utilizadas en la métrica FLRW a través de nuestra observación"? ¿De qué observaciones estás hablando? Tanto en la relatividad especial como en la general, todos los sistemas de coordenadas predicen las mismas cosas sobre las observaciones físicas locales, como la hora adecuada en el reloj de un observador en el momento en que recibe la luz de varios eventos distantes.
lo que quiero decir es que el hecho de que el universo se expanda como observamos solo se predice mediante la métrica FLRW en ciertas coordenadas especiales. Si hago una transformación de coordenadas, el espacio podría ser estático. ¿Significa eso que estamos en un marco especial?
Pero, ¿qué quiere decir con que el "universo se está expandiendo como lo observamos"? ¿De qué observaciones físicas específicas estás hablando? Si expresa las cosas en términos de observaciones locales como la relación entre el corrimiento al rojo de una galaxia y el brillo aparente de las velas estándar en ella (que se puede usar para deducir la distancia en el sistema de coordenadas cosmológicas estándar), entonces todos los sistemas de coordenadas predicen lo mismo. resultados para estas observaciones locales, incluso si las observaciones no tienen el mismo significado en términos de distancias de coordenadas, etc.
@Hypnosifl Veo tu punto. Pero, ¿por qué esta coordenada en particular se usa para describir la métrica pero no cualquier otra coordenada?
Estoy seguro de que podría usar un conjunto diferente de coordenadas para expresar la métrica, pero probablemente sería más complicado matemáticamente. Si desea ver específicamente un ejemplo de la métrica FLRW expresada en un sistema de coordenadas diferente (con una definición diferente de simultaneidad, cada hipersuperficie espacial tendría una curvatura diferente que las hipersuperficies de simultaneidad del sistema de coordenadas cosmológicas estándar), puede Considere hacer una nueva pregunta sobre esto, tal vez alguien aquí sepa de algún ejemplo publicado, o podría construir uno por sí mismo.
¿Soy el único que encuentra esta pregunta perfectamente clara? La respuesta que iba a escribir (en realidad comencé) habría mostrado cómo el tiempo cosmológico y la distancia adecuada a lo largo de los cortes espaciales asociados son especiales y por qué el espacio-tiempo FLRW no es el espacio de Minkowski, a pesar de que el tiempo conforme y las coordenadas comóviles lo hacen parecer de esa manera.
@Hypnosifl, ¿qué pasa con la contracción de longitud en SR, crees que es física o simplemente una cuestión de diferentes distancias de coordenadas? ¿Qué pasa si la métrica FRW se propuso por primera vez en algunas otras coordenadas? Podríamos cambiar la forma en que pensamos sobre la evolución del universo, el espacio podría estar reduciéndose o estático en algunas coordenadas, aunque la métrica/física sigue siendo la misma.
Estoy confundido, la expansión del universo es una conclusión que se puede sacar de forma independiente de las coordenadas. Podemos ver la expansión de la métrica sin elegir las coordenadas. $ds^2=-dt^2+a(t)^2d\Sigma^2$ . Esto muestra que las dimensiones espaciales se expanden con el factor de escala y $d\Sigma$ es independiente de las coordenadas. Entonces tal vez entendí mal la pregunta.
@Jim, puede hacer una transformación general de coordenadas en la que las coordenadas t y espaciales se mezclan, el nuevo conjunto de coordenadas es igualmente bueno pero la interpretación puede ser diferente, aunque la física es la misma.
¿No sería esa la métrica FLRW? Tal vez sea necesaria una demostración. ¿Podría dar un ejemplo de una métrica FLRW transformada? o al menos solo el $g_{\mu\nu}$ ?
@Jim Lo siento, no puedo darte la métrica, solo estoy pensando que, en principio, puedes hacerlo. Eres libre de elegir una coordenada para describir la misma métrica. Es solo que sus interpretaciones podrían ser diferentes, al igual que la longitud de una barra tendrá valores diferentes en diferentes marcos en SR.
Ah, ahora entiendo. Creo que sería más un problema con la transformación de coordenadas. El sistema transformado podría ser no físico o estar en un movimiento complicado, no inercial y asimétrico. Pero creo que en todos los casos durante largos períodos de tiempo, la métrica FLRW siempre parece estar en expansión. Sin embargo, no tengo una prueba matemática en mente para respaldar esa afirmación.
@ user3229471: diría que la contracción de la longitud depende de la elección de la convención de simultaneidad que depende de las coordenadas, aunque se le da una curva espacial entre los puntos en las líneas de mundo de cada extremo de un objeto (una curva que estaría confinada a una sola simultaneidad superficie si fue concebida como una medida de "longitud" instantánea en algún sistema de coordenadas), la distancia adecuada a lo largo de esa curva espacial es independiente de las coordenadas (al igual que el tiempo adecuado a lo largo de las curvas temporales es independiente de las coordenadas).
@Jim piensa en la solución constante cosmológica positiva Lambdavacuum. En algunas coordenadas, el universo parece estático, mientras que en otras, el universo se expande. ruego que le pasen cosas parecidas a FRW
Por cierto, conozco un caso especial que podría interesarle: en el sistema de coordenadas estándar para los universos FLRW, la curvatura del espacio en cada superficie de simultaneidad es hiperbólica siempre que la densidad de masa está por debajo de un valor crítico, y esto es cierto incluso cuando la densidad tiende a cero. Esto se conoce como el modelo de Milne , pero en realidad es solo un sistema de coordenadas diferente en el espacio-tiempo plano de Minkowski. El segundo diagrama grande aquí muestra cómo se ven las líneas de simultaneidad cuando se trazan en un marco inercial.
@Hypnosifl, de hecho, cuando usamos otro marco y hablamos sobre si las estrellas se están alejando de nosotros, debemos asegurarnos de la simultaneidad cuando medimos, luego podemos obtener diferentes conclusiones según el marco que elijamos, al igual que la contracción de longitud. Lo que observamos es corrimiento al rojo y debería ser independiente de las coordenadas, pero cuando proponemos el modelo FRW para ajustar los datos, somos libres de elegir una coordenada para describirlo. En algunos de ellos, podemos decir que el universo no se está expandiendo.

jerry schirmer · Answer 1

El sistema de coordenadas estándar es el más simple matemáticamente, pero no creo que sea el más intuitivo físicamente. Esto se debe a que vivimos en objetos que están ligados gravitacionalmente y admitimos objetos que están definidos electromagnéticamente. Esto significa que nuestras escalas de longitud locales no se ven afectadas por la expansión cosmológica. Pero, si observa la métrica FRLW, en su forma estándar (elijo la cosmología plana por simplicidad):

d s^{2} = - d t^{2} + a (t)^{2} (d r^{2} + r^{2} d θ^{2} + r^{2} {pecado}^{2} θ d ϕ^{2})

$ds^{2} = - dt^{2} + a(t)^{2}\left(dr^{2} + r^{2}d\theta^{2} + r^{2}\sin^{2}\theta d\phi^{2}\right)$

se puede decir que, para algún observador de t constante, la regla en realidad se expande con el tiempo por un factor $a$ . Por esta razón, cuando describo observaciones cosmológicas, en realidad me gusta usar un sistema de coordenadas diferente, donde reemplazas $r$ con $R = a(t)r$ . Entonces tiene $dR = {\dot a}r\,dt + a\,dr \rightarrow dr =dR- H (R/a)\,dt$ , y la métrica se convierte en (nota que usé la relación $H = \frac{\dot a}{a}$ , para reemplazar $a$ con la "constante" de Hubble):

d s^{2} = - (1 - H^{2} R^{2}) d t^{2} + 2 d R d t (- H R) + d R^{2} + R^{2} d θ^{2} + R^{2} {pecado}^{2} θ d ϕ^{2}

$ds^{2} = -\left(1-H^{2}R^{2}\right)dt^{2} + 2dR\,dt\left(-HR\right) + dR^{2} + R^{2}d\theta^{2} + R^{2}\sin^{2}\theta d\phi^{2}$

En términos de física directa, este sistema de coordenadas es mucho más claro. Verá que, para un observador de t constante, hay una singularidad coordinada en $R = \frac{1}{H}$ , correspondiente al horizonte cosmológico. Además, este sistema de coordenadas tiene un $g_{tr}$ coordenada, que, se puede mostrar, corresponde al marco de arrastre del sistema, por lo que el espacio se expande naturalmente a una velocidad proporcional a $HR$ , que te da la ley de Hubble.

Pero tenga en cuenta que todos los sistemas de coordenadas son iguales, en la base. Esta es solo una forma diferente de ver la física de este sistema de coordenadas.
Podría ser que en algunas coordenadas el universo parezca no estar expandiéndose como a(t). Aunque toda la física permanece sin cambios, la forma en que los interpretemos dependerá de las coordenadas. ¿Existe una noción de universo en expansión que no dependa de coordenadas?
@ user3229471: tienes que hablar sobre qué medida estás haciendo, al final del día. Lo que hice aquí fue sacar la dinámica de la $r$ coordinar, y ponerlos en el $t$ coordinar. En el lenguaje ADM, toda la física en esta versión de la métrica FRLW vive en el lapso y el cambio.
Además, @user3229471, tenga en cuenta que el factor de escala $a(t)$ no es un observable de la teoría: se establece mediante una elección de la coordenada de tiempo y mediante una escala inicial para el universo. El parámetro de Hubble, sin embargo, es un observable.
@JerrySchirmer dice que mido la distancia entre dos galaxias usando la métrica FRW en alguna coordenada. Ciertamente no obtendré el mismo valor y el valor podría estar cambiando de manera diferente en diferentes coordenadas, no necesariamente expandiéndose.
Si tiene dos galaxias y está midiendo la distancia entre ellas en algún marco de referencia, el resultado será independiente de las coordenadas.
Explícitamente, si estás midiendo la distancia a lo largo de algún camino $\gamma$ , entonces la distancia será: $I = \int \sqrt{-g}\epsilon_{abcd}v^{a}w^{b}z^{c}dx^{d}$ dónde $v,w,z$ son tres vectores unitarios normales a $\gamma$ .
Su métrica no tiene una singularidad en $R=1/H$ . El $t$ la coordenada se vuelve como la luz allí y como el espacio más allá, pero nunca es singular. El horizonte cosmológico generalmente no está en $R=1/H$ de todos modos, excepto cuando $Ω=Ω_Λ$ . También el $dR\,dt$ término no es evidencia de arrastre de marco físico, es solo un artefacto de coordenadas. Se puede decir por el hecho de que es lineal en $R$ Al origen. Cualquier desviación de primer orden de la métrica de Minkowski en el origen siempre puede eliminarse mediante un cambio de coordenadas. Para obtener el mejor comportamiento en el origen, necesitaría una coordenada de tiempo que no sea FLRW, lo que comienza a complicarse.
tengo una pequeña duda. dt será igual al tiempo propio medido por el observador. Como en las coordenadas de Schwarzschild, dt será igual al tiempo propio del observador en el infinito o en las coordenadas de gullstrand, dt será igual al tiempo propio de un observador que cae radialmente. De manera similar, aquí dt sería igual al tiempo propio medido por el cual el observador

qmecanico · Answer 2

Comentarios a la pregunta (v3):

Es cierto que existe una gran libertad para elegir coordenadas locales en GR , pero no es posible alterar el tensor métrico $g_{\mu\nu} dx^{\mu}dx^{\nu}$ (cuando incluimos los elementos base $dx^{\mu}$ y $dx^{\nu}$ ).
Dado un punto de espacio-tiempo fijo arbitrario pero único $p$ , existen coordenadas normales de Riemann .
No podemos obtener los componentes métricos. $g_{\mu\nu}$ en una forma simétrica arbitraria prescrita (con la firma de Minkowski) en un vecindario abierto, sin importar cuán pequeño sea. ¡No es un almuerzo gratis!

Cristóbal · Answer 3

Todos los sistemas de coordenadas son iguales, pero algunos sistemas son más iguales que otros;)

En el caso de los universos de Friedmann, hay un conjunto distinguido de coordenadas que corresponde a una familia de observadores en caída libre que ven el universo como isotrópico y elegido para que la materia se distribuya homogéneamente dentro de un segmento espacial en un tiempo constante.

Además, podríamos elegir nuestras coordenadas para que la coordenada similar al tiempo coincida con el tiempo adecuado de nuestros observadores y las coordenadas similares al espacio coincidan con la distancia adecuada dentro de un segmento espacial.

Esta es solo una opción posible entre muchas: por ejemplo, los observadores en movimiento relativo no verían el universo como isotrópico, y su descripción de la distribución de la materia sería tan válida como la que elegimos, solo que menos conveniente.

Incluso si mantenemos nuestro conjunto de observadores, somos libres de escalar nuestras coordenadas como mejor nos parezca. Por ejemplo, el uso de tiempo conforme y coordenadas comóviles hace que el espacio-tiempo FLRW se parezca engañosamente al espacio de Minkoswki con una distribución de materia estática:

ingrese la descripción de la imagen aquí

( fuente )

Note cómo los rayos de luz amarilla son dados por líneas rectas y que las galaxias estarían a una distancia fija de comovimiento.

Esto, sin embargo, es engañoso, de la misma manera que hacer un gráfico logarítmico no cambia la función subyacente. Tenga en cuenta que, independientemente de las coordenadas, las matemáticas, por supuesto, seguirán funcionando gracias a la magia del cálculo tensorial: el espacio-tiempo permanecerá curvo, la distancia adecuada dentro de los cortes espaciales aumentará y la luz experimentará un desplazamiento hacia el rojo.

Creo que la distancia dentro del segmento espacial en un tiempo constante no es la misma en diferentes coordenadas, al igual que la contracción de la longitud. Por lo tanto, en algunas coordenadas, el universo podría no estar expandiéndose como a(t), ¿existe una noción de universo en expansión independiente de las coordenadas?
@user3229471: la distancia dentro de un segmento espacial está bien definida; la contracción de longitud solo es posible porque los observadores en movimiento relativo no están de acuerdo con el corte espacial...
la distancia dentro de un segmento espacial no es la distancia adecuada. claramente varía en diferentes coordenadas
@user3229471: no variará entre las coordenadas que coincidan con el corte espacial
el corte espacial significa la parte espacial de la métrica en algún momento constante, ¿verdad? entonces si en dos coordenadas la parte del tiempo en la métrica es diferente, cuando calculemos las distancias entre dos estrellas (set dt=0), obtendremos resultados diferentes.

Coordenadas para la métrica FLRW

Shadumu

Juan Rennie

hipnótico

Shadumu

kyle kanos

hipnótico

Shadumu

hipnótico

Cristóbal

Shadumu

Jim

Shadumu

Jim

Shadumu

Jim

hipnótico

Shadumu

hipnótico

Shadumu

Respuestas (3)

jerry schirmer

jerry schirmer

Cristóbal

Shadumu

jerry schirmer

jerry schirmer

jerry schirmer

Shadumu

jerry schirmer

jerry schirmer

benrg

Shashank

qmecanico

Cristóbal

Shadumu

Cristóbal

Shadumu

Cristóbal

Shadumu