Coordenada localmente plana y Marco localmente inercial

Question

Coordenada localmente plana y Marco localmente inercial

anonimo67

Tengo algunas dudas sobre mí mismo con respecto a los conceptos anteriores en Relatividad General.

Primero, quiero señalar cómo los entiendo hasta ahora.

Un observador masculino sigue una línea de tiempo temporal ( $\gamma$ ) en el espacio-tiempo (porque debe tener un tiempo propio). Él tiene un marco para sí mismo.

Una coordenada es un conjunto de números que el observador usa para describir el espacio-tiempo en su marco (que es otra forma de decir el espacio-tiempo en su vista).

La coordenada localmente plana de un observador a la vez ( $s\in\gamma$ ) es la coordenada (de su marco, por supuesto) en la que ve que el tensor métrico en una vecindad de su posición es la métrica plana (los símbolos de Christoffel desaparecen):

{gramo}_{m v} (s) = η_{m v}

$g_{\mu\nu}(s)=\eta_{\mu\nu}$

Γ_{m v}^{ρ} (s) = 0

$\Gamma_{\mu\nu}^\rho(s)=0$

Esta coordenada depende y es utilizada naturalmente por el observador.

Ahora, un marco localmente inercial es un marco de cualquier observador en caída libre, o cualquier observador que siga una geodésica ( $l$ ). Puede usar o no la coordenada plana local de sí mismo. Pero tiene una coordenada muy especial que es localmente plana en cada punto es su línea de mundo:

\forall s \in yo :

$\forall s\in l:$

{gramo}_{m v} (s) = η_{m v}

$g_{\mu\nu}(s)=\eta_{\mu\nu}$

Γ_{m v}^{ρ} (s) = 0

$\Gamma_{\mu\nu}^\rho(s)=0$

¿Tengo algún malentendido o mal uso de la terminología?

Ahora debería haber un observador en caída libre. $A$ (con su coordenada especial) y su línea de palabra cruza la línea de palabra de otro observador (que no cae libremente) $B$ . Y en el punto de cruce, ¿puedo creer que las dos coordenadas (de dos marcos) pueden elegirse para que sean localmente idénticas (o iguales) (es decir, existe una transformación lineal que transforma localmente una en otra)?

levitafero

Creo que las derivadas de la métrica también deben desaparecer en el marco localmente inercial, lo que no es cierto en el marco localmente plano.

anonimo67

No hay marco localmente plano en mi terminología. Solo hay COORDENADAS localmente planas de un marco, y este marco puede ser un marco localmente inercial o no.

levitafero

Eso debería ser lo mismo. Puede elegir las coordenadas de modo que la métrica, en esas coordenadas, sea plana. No creo que estas dos elecciones se puedan hacer simultáneamente porque las derivadas no son necesariamente cero en el caso localmente plano.

anonimo67

Pensé

Γ = 0

$\Gamma = 0$ Cuál es la condición necesaria para que la derivada parcial sea cero? ¿Puede consultar algún enlace sobre la definición del marco de inercia local?

Cristóbal

Pregunta de seguimiento: ¿Qué sucede si el observador es una mujer? ;)

levitafero

Γ

$\Gamma$ es una suma de derivadas métricas, por lo que podría ser cero sin que las propias derivadas sean cero. Creo que es más correcto decir "las primeras derivadas de la métrica desaparecen" en lugar de

Γ = 0

$\Gamma=0$ . ¿Alguien puede corregirme en eso?

levitafero

Además: ¿Estás hablando de las coordenadas normales de Fermi? en.wikipedia.org/wiki/Fermi_coordinates

anonimo67

Coordenadas de Fermi, sí, creo. Es exactamente la coordenada especial que he mencionado.

anonimo67

@levitopher Pensé que todos los símbolos de Christoffel desaparecen, ¿significa exactamente que todas las derivadas parciales de primer orden desaparecen?

levitafero

Puede haber un argumento para eso en alguna circunstancia específica, pero dado que

Γ = A + B - C

$\Gamma = A+B-C$ , dónde

A

$A$ ,

B

$B$ , y

C

$C$ son derivadas de primer orden de la métrica,

Γ = 0

$\Gamma=0$ No implica

A = B = C = 0

$A=B=C=0$ . Por ejemplo,

A = x

$A=x$ ,

B = x

$B=x$ ,

C = 2 x

$C=2x$ .

Respuestas (4)

Coordenada localmente plana y Marco localmente inercial

Creo que las derivadas de la métrica también deben desaparecer en el marco localmente inercial, lo que no es cierto en el marco localmente plano.
No hay marco localmente plano en mi terminología. Solo hay COORDENADAS localmente planas de un marco, y este marco puede ser un marco localmente inercial o no.
Eso debería ser lo mismo. Puede elegir las coordenadas de modo que la métrica, en esas coordenadas, sea plana. No creo que estas dos elecciones se puedan hacer simultáneamente porque las derivadas no son necesariamente cero en el caso localmente plano.
Pensé $\Gamma = 0$ Cuál es la condición necesaria para que la derivada parcial sea cero? ¿Puede consultar algún enlace sobre la definición del marco de inercia local?
Pregunta de seguimiento: ¿Qué sucede si el observador es una mujer? ;)
$\Gamma$ es una suma de derivadas métricas, por lo que podría ser cero sin que las propias derivadas sean cero. Creo que es más correcto decir "las primeras derivadas de la métrica desaparecen" en lugar de $\Gamma=0$ . ¿Alguien puede corregirme en eso?
Además: ¿Estás hablando de las coordenadas normales de Fermi? en.wikipedia.org/wiki/Fermi_coordinates
Coordenadas de Fermi, sí, creo. Es exactamente la coordenada especial que he mencionado.
@levitopher Pensé que todos los símbolos de Christoffel desaparecen, ¿significa exactamente que todas las derivadas parciales de primer orden desaparecen?
Puede haber un argumento para eso en alguna circunstancia específica, pero dado que $\Gamma = A+B-C$ , dónde $A$ , $B$ , y $C$ son derivadas de primer orden de la métrica, $\Gamma=0$ No implica $A=B=C=0$ . Por ejemplo, $A=x$ , $B=x$ , $C=2x$ .

giulio bullsaver · Answer 1

En el caso más general descrito por la relatividad general, no es posible encontrar un $neighbourhood$ cubierto por coordenadas $x^\mu$ tal que $g^{\mu\nu} = \eta^{\mu\nu}$ en todo U. Si fuera así, tienes un tensor de Riemann cero, por lo que el espacio-tiempo sería plano en todo U. Puedes tener espacios-tiempos con piezas tan planas (creo que no hay problema en pegar esta pieza con piezas no planas, pero puedo estar equivocado), pero no es el caso más general y no es lo que se quiere decir cuando decimos que el espacio-tiempo es localmente plano.

Lo que queremos decir es que el espacio tangente, en cualquier punto, es el espacio-tiempo de Minkowski.

Esto significa que, para cualquier punto p, puede encontrar una base para el espacio tangente en p (y las coordenadas "exponenciales" asociadas) de modo que la métrica sea diag(-,+,+,+) en estas coordenadas en este punto p y los coeficientes de conexión desaparecen en este punto (¡no en un vecindario!)

Puedes pensar en estas coordenadas como las de un observador inercial. Tenga en cuenta que existen varias coordenadas posibles, que están relacionadas por una transformada de Lorentz en el espacio tangente, y están asociadas a diferentes observadores.

¿En qué sentido puedes pensar en estas coordenadas como las de un observador inercial? En el sentido de que siempre que cubra una vecindad suficientemente pequeña de p, cuya dimensión será "menor cuanto mayor sea el tensor de Riemann en p", puede describir todo lo que sucede aquí como si estuviera en relatividad especial. Una sobre todo, las geodésicas son de la forma $d/dt^2 x(\tau) = 0$ y no aceleran uno con respecto al otro. Por supuesto, en realidad lo hacen, pero estos efectos son pequeños si se considera el pequeño vecindario de p y el pequeño Riemann en p.

Análogamente, la Tierra es plana en un punto en el sentido de que puedes "confundir" el espacio tangente plano con el vecindario real porque las diferencias son difíciles de detectar si haces suficiente zoom.

levitafero · Answer 2

A la luz de nuestras discusiones aclaratorias, creo que la respuesta es sí.

Encontré una buena sección sobre las coordenadas normales de Fermi aquí (Sección 9):

http://relativity.livingreviews.org/Articles/lrr-2011-7/fulltext.html

Esto parece ser lo que quiere decir con "coordenadas inerciales locales": la tétrada es ortonormal con una dirección a lo largo de la curva y las otras a lo largo de curvas espaciales ortogonales a la curva.

Dado que puede definir las coordenadas normales de Fermi en cualquier lugar de una geodésica temporal, defínalas en la intersección de dos geodésicas. Estos definen una métrica plana, por lo que no hay ninguna razón por la que no pueda elegir esa métrica para que sea la tétrada para el otro observador en el mismo punto.

imagen357 · Answer 3

Si el observador no está en caída libre, el tensor métrico $g_{\mu,\nu}(s)$ en la posición del observador, expresada en coordenadas locales alrededor del observador, no será $\eta_{\mu,\nu}$ . Tu primera suposición sobre el camino. $(\gamma)$ Está Mal.

Supongo que a lo que apuntas es a la noción del espacio de coordenadas alrededor de un punto, que de hecho es un espacio plano (ya que es (pseudo-) euclidiano). Sin embargo, este espacio solo sirve para introducir coordenadas en un subconjunto abierto de su variedad mediante un mapeo que es homeomorfo a un subconjunto abierto de ese espacio (pseudo) euclidiano. Esto significa que el subconjunto abierto de su variedad es bastante similar (¡hasta las deformaciones , eso es curvatura!) Que el subconjunto (pseudo-) euclidiano.

usuario122637 · Answer 4

Creo que la mejor manera de pensarlo es la siguiente (no es muy diferente de lo que todos han dicho, pero se puede poner en una mejor perspectiva).

Elegir un marco de referencia es un trabajo completamente diferente al establecimiento de coordenadas. Para observar un evento en el espacio-tiempo, debe pertenecer a algún marco de referencia (o de manera equivalente, crea un marco de referencia, digamos S, donde $\frac{d \vec{r}_{you}}{dt}$ desde el marco S siempre es 0). Tenga en cuenta que aún no he definido ninguna coordenada. Estableceré coordenadas a continuación solo para explicar el movimiento de otros cuerpos en mi marco.

Está claro que las coordenadas se pueden definir solo después de que haya elegido su marco de referencia . Cada vez que hacemos la transformación de coordenadas del espacio-tiempo , diga: $x^\mu\rightarrow x^{\mu}{'}$ , entonces ciertamente estamos cambiando marcos . Sin embargo, si estamos haciendo alguna transformación sin que aparezca ninguna t en las ecuaciones de transformación , es un cambio de coordenadas .

A continuación, de todo lo que he leído o encontrado, los significados de los dos términos clave son los siguientes:

Coordenadas localmente inerciales/planas: coordenadas cartesianas/euclidianas colocadas alrededor de algún punto X en un espacio curvo general.
Marcos localmente inerciales: Marcos que admiten el uso de coordenadas localmente inerciales/planas como una de las opciones

Espero que esto ayude.

Coordenada localmente plana y Marco localmente inercial

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Ecuaciones tensoriales en relatividad general

Coordenadas inerciales locales/coordenadas normales de Fermi

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Interpretación de Coordenadas Normales

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6 ecuaciones de campo de Einstein independientes?

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