¿Qué significa un marco de referencia en términos de variedades?

Observaciones:

1. En la siguiente explicación, los espacios-tiempos de 4 dimensiones$M$dotados de una métrica de firma (3,1) son considerados.

2. Hay varias páginas de Wikipedia que tratan marcos (a veces llamados tétradas o Vielbeins) en GR. Ver por ejemplo, aquí , aquí y aquí

3. Hay un muy buen capítulo de introducción al tema en el capítulo 5 de estas notas por: R. Aldrovandi y JG Pereira.

Un marco en GR significa un conjunto de cuatro campos vectoriales$\mathbf{e}_a: M \rightarrow TM$,$a=0, 1,2,3$satisfaciendo la ecuación de restricción:

$\mathbf{g} = \eta^{ab} \mathbf{e}_a \mathbf{e}_b$,

dónde$\mathbf{g}$es el tensor métrico inverso y$\eta^{ab}$es la métrica lorentziana plana.

Estos campos vectoriales se pueden considerar como el mapeo de los vectores de coordenadas de algún espacio de Mikowski dado a través del sistema de coordenadas local al espacio tangente. En términos físicos, asociamos cada marco con un observador local.

Ahora, básicamente, podemos trabajar con los componentes de los campos vectoriales de marco en lugar de la métrica, pero se observa que los campos de marco tienen 16 componentes, mientras que la métrica tiene (debido a su simetría) solo 10 componentes. Esta redundancia se debe al hecho de que los campos de trama no son únicos y un nuevo conjunto de campos de trama$\mathbf{e}^{\prime}_a$satisfactorio

$\mathbf{e}^{\prime}_a = M_a^b(x) \mathbf{e}_b$

satisface la misma restricción, donde$M_a^b(x)$es una matriz de transformación de Lorentz (es decir, que satisface$M_a^b(x) M_c^d(x) \eta_{bd} = \eta_{ab}$)

Tenga en cuenta que podemos elegir una transformación de Lorentz no constante según la ubicación en la variedad, por esta razón, estas transformaciones se denominan transformaciones de Lorentz locales.

Ahora el conteo de dimensiones verifica: 16 componentes de cuadro = 10 componentes métricos + 6 transformaciones de Lorentz en cada punto.

Este formalismo puede parecer simplemente un cambio de variables, pero esta no es toda la historia.

Primero, las transformaciones locales de Lorentz pueden verse como secciones de un principal$SO(3,1)$agruparse$M$(Este paquete se llama$SO(M, \mathbf{g})$. Por lo tanto, esta formulación es una formulación de GR como una teoría de calibre. Ahora, dado que podemos permitir que las transformaciones locales de Lorentz dependan de las coordenadas, este formalismo permite definir sistemas de aceleración, simplemente tomando las transformaciones locales de Lorentz como dependientes del tiempo.

En segundo lugar, en la formulación estándar de GR permite definir campos clásicos como secciones de paquetes cuyas transformaciones locales son funciones de la transformación de coordenadas (difeomorfismos) de la variedad base. Estos paquetes se denominan paquetes naturales, por ejemplo, la transformación de coordenadas del paquete tangente es la matriz jacobiana de las transformaciones de coordenadas de la variedad base. (Del mismo modo, la matriz jacobiana inversa para el paquete cotangente). Así, la formulación estándar de GR permite la definición de campos vectoriales, campos tensoriales, etc. pero no campos espinores, que son muy importantes en física. Los paquetes de espinores no son naturales, pero no existe una forma natural de definir una transformación de coordenadas general de un campo de espinores dado un difeomorfismo de la variedad base.

Sin embargo, si la variedad base$M$tiene una estructura de espín, entonces el formalismo de marco permite definir los campos de espinor de la siguiente manera: Dado que$M$es girar,$SO(M, \mathbf{g})$se puede elevar a un paquete giratorio$Spin(M, \mathbf{g})$, entonces un haz de espinores es el haz asociado correspondiente a una representación fundamental de espinores, y los campos de espinores son secciones del haz de espinores.

Esta construcción se puede realizar en las siguientes coordenadas locales:

Primero, podemos formar el marco dual$\mathbf{e}^a: M \rightarrow T^{*}M$al requerir:

$\langle \mathbf{e}^a, \mathbf{e}_b \rangle = \delta^a_b$

El cuadro dual se puede utilizar para definir los componentes del cuadro de cualquier campo vectorial$\mathbf{V}$:

$V^a = \langle \mathbf{e}^a, \mathbf{V} \rangle$

Por el contrario, uno puede formar los componentes "curvos" de un vector usando el marco original. Por ejemplo, considere las matrices de Dirac$\{\gamma^a\}$generando el álgebra de Clifford$Cl(3,1)$. Entonces sus componentes curvas están dadas por:

$\gamma^{\mu} = \gamma^a e_a^{\mu}$

De manera más general, se usa la métrica$\mathbf{g}$para bajar los "índices curvos", la métrica inversa para subir los "índices curvos". y de manera similar, la métrica de Lorentz$\mathbf{\eta}$para los índices planos. Uno usa los vectores marco y su dual para reemplazar los índices curvos con índices planos y viceversa.

A continuación, la conexión de espín

Se define como:

$\omega_{\mu}^{ab} = e^a_{\nu}(\partial_{\mu} e^{\nu b}+ e^{\sigma b}\Gamma^{\nu}_{\sigma \nu})$

dónde,$\Gamma^{\nu}_{\sigma \nu}$es la conexión Levi-Civita.

No es difícil verificar (observando las transformaciones locales de Lorentz) que$\omega_{\mu}^{ab}\sigma_{ab}$es una conexión en$Spin(M, \mathbf{g})$, dónde$\sigma_{ab}$son los generadores de la representación fundamental del espinor.

1. Usando los datos anteriores, la ecuación de Dirac completamente covariante en$M$toma la forma:

$-i \gamma^{\mu} D_{\mu} \psi + m \psi = 0$,

dónde$D_{\mu}$es la derivada covariante asociada con la conexión de espín

$D_{\mu} = \partial_{\mu}-i\omega_{\mu}^{ab}\sigma_{ab}$

Por lo tanto, la ecuación de Dirac completamente covariante se parece a la ecuación de Dirac acoplada a un campo de calibre dado por la conexión de espín.

Los campos clásicos donde esta construcción es posible son secciones de haces llamados "haces naturales de calibre".

Es importante mencionar que la solución de la ecuación de Dirac completamente covariante depende de los campos del marco, pero las cantidades observables, como el número de estados ligados, por ejemplo, dependen solo de la métrica.

Actualizar:

Dado que los observadores locales se identifican con puntos en las fibras del paquete de marcos, todos los marcos son inerciales porque pueden obtenerse de la acción de una transformación de Lorentz en un solo marco (es decir, punto en la fibra). Los parámetros de la transformación de lorentz son el vector de velocidad y la orientación del marco. Está explícito en las ecuaciones que podemos permitir transformaciones de Lorentz variables, es decir, transformaciones de Lorentz dependientes de las coordenadas locales de la variedad base, en particular de la coordenada de tiempo. Ahora dividiré mi respuesta en dos partes:

Partículas: suponga que el vector de cuatro velocidades de una partícula que se mueve en una geodésica está dado por$V^{\mu} = \frac{dx^{\mu}}{d\tau}$, ($\tau$es cualquier parámetro a lo largo de la ruta), entonces las coordenadas del marco de este vector son:$V^a = e^a_{\mu} V^{\mu}$y las componentes de la velocidad medidas por un observador que se mueve con una velocidad definida por la matriz de Lorenntz$M(x)$son$V^{\prime b} = M^b_a(x) V^a$. De nuevo, una variable$M$indica un marco de aceleración.

Campos: Las ecuaciones de movimiento serán covariantes con respecto a estas transformaciones, ya que para secciones de haces naturales, los vectores marco no aparecen en las ecuaciones de movimiento, mientras que en el caso de secciones naturales de gauge como espinores estos (variable Lorentz) Las transformaciones aparecerán como transformaciones de calibre y las ecuaciones de movimiento se construyen para ser invariantes de calibre. Por lo tanto, las ecuaciones de movimiento no se ven afectadas por las transformaciones locales de Lorentz, o en otras palabras, la física se ve igual para todos los observadores, incluso si están acelerando.

David Bar Moshe ha dado una respuesta muy completa con un alto nivel de sofisticación tanto en matemáticas como en física. Si eso satisface exactamente las necesidades del OP y otros que leen esta página, genial. Solo me gustaría intentar abordar la pregunta del OP en un lenguaje más simple.

GR no tiene marcos de referencia globales como lo hace SR. (Cuando David Bar Moshe dice: "Un marco en GR significa...", lo que está definiendo no es un marco de referencia global, es una colección de marcos de referencia locales, cada uno definido en un punto diferente). Por ejemplo, en SR esperamos poder decir que en el marco de referencia del objeto A, el objeto distante B tiene una velocidad bien definida. En GR, no podemos hacer esto. Por ejemplo, si A es nuestra galaxia y B es una galaxia cosmológicamente distante, entonces no hay una forma única y bien definida de definir la velocidad de B en el marco de A. Podemos decir que B se mueve en relación con A, o podemos decir que tanto A como B están en reposo y el espacio entre ellos se expande. GR no dice que una de estas descripciones verbales sea preferible a la otra.

El OP pregunta sobre gráficos y atlas y cómo se relacionan con los cambios de marcos de referencia. ellos no Todos los temas interesantes se pueden discutir sin tener que lidiar con una variedad que requiere más de un gráfico. Por ejemplo, en los modelos cosmológicos FRW, puede cubrir todo el espacio-tiempo con un solo gráfico usando coordenadas$(t,x,y,z)$, y normalmente haría esto de tal manera que una galaxia en reposo en relación con el flujo del Hubble tuviera constantes x, y y z. Un ejemplo de un cambio de coordenadas sería$t\rightarrow 2t$. En este espacio-tiempo, no existe la noción de un marco de referencia global, y no hay nada que juegue el papel de un impulso de Lorentz como lo habría en SR. Si intenta aplicar las ecuaciones de transformación habituales de Lorentz a$(t,x,y,z)$, obtienes un conjunto de coordenadas$(t',x',y',z')$que son perfectamente válidos pero completamente carentes de interés físico, y no puedes interpretar los nuevos como un marco que se mueve a cierta velocidad en relación con algún marco definido por los antiguos.

Con respecto a la pregunta del OP sobre acelerar versus no acelerar, GR es relativamente agnóstico al respecto. Sin embargo, necesitamos distinguir marcos de coordenadas. Se permite cualquier cambio suave de coordenadas (difeomorfismo) y no tiene efecto en la forma de las leyes de la física (ecuaciones de campo de Einstein). Por ejemplo, puede describir el espacio-tiempo plano en coordenadas aceleradas, donde parece tener un campo gravitatorio: http://en.wikipedia.org/wiki/Rindler_coordinates En términos de marcos, tenemos marcos preferidos en GR, que son los marcos de observadores que están en caída libre. En GR, el marco de una roca asentada en el suelo se considera no inercial, y el marco de una roca que cae se considera inercial; es exactamente lo contrario de lo que diríamos en la física newtoniana.

Quiero agregar mi comprensión personal del concepto de marco de referencia.

En los artículos:

• Marmo, G., Preziosi, B. (2006). La estructura del espacio-tiempo: grupos de relatividad. Revista internacional de métodos geométricos en física moderna, 03 (03), 591-603.
• Marmo, G., Preziosi, B. (2005) Existencia objetiva y grupos de relatividad. Simetrías en la ciencia XI, 445-458.

se presenta un acercamiento a los marcos de referencia que encontré físicamente útil.

Esencialmente un marco de referencia$\mathcal{R}$se define como un tensor (1,1) en la variedad de espacio-tiempo$\mathcal{M}$tal que:

• es de rango uno, es decir, es descomponible como$\mathcal{R}=\theta\otimes T$, dónde$\theta\in\Lambda^{1}(\mathcal{M})$y$T\in\mathfrak{X}(\mathcal{M})$;

• es tal que$\theta(T)=1$.

En un escenario relativista general podemos elegir$T$ser temporal y$\theta$ser su forma dual. Esto está lo suficientemente cerca del enfoque por medio de la tríada.

Las curvas integrales de$T$define las líneas de mundo de diferentes observadores en$\mathcal{R}$.

Lo importante a tener en cuenta es que el paquete tangente$T\mathcal{M}$de$\mathcal{M}$se divide como:

donde esta la distribucion del tiempo$\mathcal{R}^{t}=span(T)$y la distribución del espacio es$\mathcal{R}^{s}=Ker(\theta)$.

Esto es, en general, solo una división local, lo que refleja el hecho de que, en general, no hay marcos de referencia globales.

si tenemos$\theta\wedge d\theta=0$después$\theta$da lugar a una foliación integrable (mediante el teorema de Frobenius), y las hojas de esta foliación son los espacios locales de descanso del marco de referencia.

si además$\theta=df$entonces el marco de referencia es sincronizable. Esto quiere decir que existe una correspondencia biunívoca entre las hojas de la foliación espacial (espacios de descanso locales) y el parámetro de evolución de las curvas integrales de$T$, así diferentes observadores en este marco de referencia poseen una noción común del Tiempo.

Se puede hablar de marco de referencia acelerado o inercial eligiendo diferentes campos vectoriales$T$.

Por ejemplo, en el espacio-tiempo de Minkowski, el marco de referencia (global):

Los marcos de referencia geodésicos no tienen aceleración en el sentido de que el campo vectorial$T$, siendo geodésica, es tal que$a_{T}=\nabla_{T}T=0$, dónde$a_{T}$es el campo vectorial de aceleración. Esto no significa que en un espacio-tiempo no plano un marco de referencia geodésico sea inercial, de hecho si la conexión métrica no es plana entonces las curvas integrales del campo vectorial geodésico$T$no son$\frac{d^{2}\gamma^{\mu}(\tau)}{d\tau^{2}}=0$, y por lo tanto no son líneas rectas.

Sé que esta respuesta no es tan clara y profunda como las otras, sin embargo, creo que este enfoque hacia los marcos de referencia puede ser útil porque puede usarse en contextos diferentes al relativista general, mientras que el formalismo de la tríada está naturalmente ligado al general. relatividad.

Con este propósito, hay otro enfoque hacia los marcos de referencia casi como estructuras de productos, es decir, a partir de la división$T\mathcal{M}=\mathcal{R}^{t}\oplus\mathcal{R}^{s}$sin utilizar el campo tensor$\mathcal{R}$, sin embargo, no recuerdo las referencias para esto (tal vez fue algo de DH Delpenich).

Finalmente quiero agregar una aplicación fácil del concepto de marco de referencia en Electrodinámica que me parece muy interesante.

En la teoría clásica del electromagnetismo sobre el espacio-tiempo de Minkowski$\mathcal{M}$el campo electromagnético$F$se ve como la curvatura$2$-forma del pullback de un$U(1)$-conexión principal en$\mathcal{M}$, entonces se ve fácilmente que la elección del marco de referencia$\mathcal{R}=dx^{0}\otimes\partial_{x^{0}}$permite la definición de una forma diferencial (campo eléctrico):

Creo que la terminología matemática equivalente a un marco inercial es "coordenadas normales" en el punto$p$. Es decir, en tus coordenadas la métrica en$p$es solo la métrica plana de Minkowski y todas las primeras derivadas de la métrica desaparecen en$p$. Por el contrario, un marco acelerado sería cualquier coordenada que no sea normal.

Es probable que signifique una consideración de un mapa para el marco de referencia del observador acelerado discutido, por ejemplo, en el cap. 13.6 de Misner, Thorne, Wheeler, “Gravitación”. Tal vez sea sencillo comenzar con la consideración del sistema de coordenadas correspondiente al movimiento con aceleración constante en el cap. 26 de Pauli “Teoría de la relatividad” sobre el movimiento hiperbólico.