Demuestra que (G,∘)(G,∘)(G, \circ) es un grupo si a∘x=ba∘x=ba\circ x = b y x∘a=bx∘a=bx\circ a = b tener soluciones únicas

Solo por el gusto de hacerlo, podemos hacerlo incluso sin la suposición de unicidad.

Supuesto: que la multiplicación es asociativa y que las ecuaciones$ax=b$y$xa=b$tener al menos una solución para todos$a$y$b$.

1. Si$e$y$a$se dan de tal manera que$ea=a$, entonces$e$es un nombre izquierdo para cada elemento. Prueba : dada$b$dejar$x$ser tal que$ax=b$. Entonces$eb=eax=ax=b$.

2. De manera similar, cualquier cosa que sea una identidad correcta para algo es una identidad correcta para todo.

3. Si$l$es una identidad izquierda para algo y$r$es una identidad correcta para algo, entonces$l=r$. Prueba: Por (1) y (2)$lr=l$y$lr=r$.

4. Hay un elemento de identidad único. Es decir, elija cualquier elemento$a$y deja$e$resolver$ea=a$. Entonces por (3) la solución de$ax=a$debe igualar esto$e$, y luego por (3) nuevamente, todo lo que es una identidad derecha o izquierda de algo debe ser$e$.

5. La unicidad de los inversos ahora sigue el argumento habitual: si$xa=ya=e$, entonces deja$z$ser tal que$az=e$y luego$x=xe=xaz=yaz=ye=y$así como$z=ez=xaz=xe=x$.

Ahora que lo pienso, esta es en realidad una caracterización más agradable de los grupos que el juego habitual con identidades e inversos. Un grupo es simplemente algo con una operación asociativa tal que todo se puede convertir en cualquier otra cosa multiplicándolo por algo de la izquierda o de la derecha, según elijamos. Tomando prestada alguna terminología de la teoría de grafos, podríamos llamar a esto una operación asociativa transitiva por la izquierda y transitiva por la derecha . ( Editar: resulta que esto ya tiene un nombre, sin embargo: semigrupo simple izquierdo y semigrupo simple derecho , y lo anterior demuestra que los grupos son exactamente esos semigrupos que son simples a la izquierda y a la derecha).

Sugerencia Primero, tenga en cuenta que de la unicidad de las soluciones se deduce que la operación es cancelativa:$ac=bc$(así como$ca=cb$) implica$a=b$.

La ecuacion$ax = a$tiene una solución$e$. Multiplicando la identidad$ae=a$a la derecha por$a$y luego cancelar$a$a la izquierda tenemos$ea=a$, es decir$e$es una unidad para$a$. Multiplicando y cancelando por otro elemento$b$demostramos que$e$es una unidad para todos$G$. A continuación, de las ecuaciones$ax = e$y$xa = e$obtenemos elementos inversos...

Dejar$g\in G$. Por hipótesis, sabes que la ecuación$gx=g$tiene una solución única y$xg=g$tiene una solución única. ¿Qué puedes decir sobre estas dos soluciones? Dejar$x_0$Sea la solución de la primera ecuación. Por hipótesis, las ecuaciones$gx=x_0$y$xg=x_0$tienen soluciones únicas. ¿Qué puedes decir sobre estas dos soluciones?

Es un poco sutil probar la existencia de un elemento de identidad. Para cada$g \in G$, existen elementos únicos$l_g, r_g$(identidades izquierda/derecha para$g$) tal que$l_g g = g$y$g r_g = g$. El objetivo es mostrar que$l_g = r_g = l_{g'} = r_{g'}$para cualquiera de los dos$g, g' \in G$.

Tienes$g l_g g = g^2$y como la ecuacion$x g = g^2$tiene una solución única, tenemos$g l_g = g$. Por lo tanto, usando la unicidad de nuevo,$l_g = r_g$. Llamemos a este elemento$e_g$, que tiene la propiedad de que$e_g g = g e_g = g$.

Ahora debemos demostrar que$e_g = e_{g'}$para$g, g' \in G$. Tenemos$g e_g g' = g g' = g e_{g'} g'$. Dado que la ecuación$x g' = g g'$tiene una solución única,$g e_g = g e_{g'}$; del mismo modo, desde$g x = g e_{g}$tiene una solución única,$e_g = e_{g'}$.