¿Es el semigrupo tal que ∀x (x∈S→∃y (y∈S∧∀z (z∈S→zxy=z)))∀x (x∈S→∃y (y∈S∧∀z (z un grupo ?

He estado lidiando con este problema:

Dejar S Sea un semigrupo que cumpla la siguiente condición:

∀ X   ( X ∈ S → ∃ y   ( y ∈ S ∧ ∀ z   ( z ∈ S → z X y = z ) ) )
Debe S ser un grupo?

He intentado esto como un contraejemplo:

Dejar S = { [ a 1 , … , a norte ] : norte ≥ 1 , a j ∈ norte ∗ , a j + 1 − a j ≠ 1  para  j ≥ 2 } . En palabras, el conjunto de no vacíos norte -tuplas de números naturales que no tienen dos términos consecutivos juntos (en orden creciente), excepto los dos primeros: pueden ser consecutivos. La operacion ∗ es la concatenación y el borrado de posibles pares ilegales. Tenga en cuenta que norte ≥ 1 , por lo que excluyo la secuencia vacía para evitar tener una identidad.

por ejemplo, para X = [ 7 , 11 , 13 ] tenemos y = [ 14 , 12 , 8 ] .

Esta definición implica que hay infinitas identidades a la derecha para cada elemento. Por ejemplo, si a no termina con 1 ,

a ∗ [ 1 , 2 ] = a
a ∗ [ 2 , 3 ] = a
Así que esto no puede ser un grupo.

Pero encuentro esta solución demasiado complicada. ¿Alguna más sencilla?

EDITAR: en una respuesta eliminada hay un ejemplo que muestra que mi intento ni siquiera es un semigrupo, porque no es asociativo.

Respuestas (3)

Toma el semigrupo S = { a , b } , dónde a a = a b = a y b a = b b = b . Entonces, para cada X ∈ S , llevar y = X . Entonces, para todos z ∈ S , z X y = z X X = z . Sin embargo, S no es un grupo

O más generalmente, tome cualquier conjunto S con más de un elemento y la operación X y = X para todos X , y ∈ S .
@celtschk Tienes toda la razón, solo tomé el contraejemplo mínimo.
Entonces, el punto es hacer que cada elemento sea una identidad a la derecha.
@ajotatxe: Sí, esa es otra forma de expresarlo. Y necesitas al menos dos elementos porque con solo un elemento obtienes el grupo trivial, que obviamente es un grupo.
Tengo una representación divertida: S = { 1 , ∞ } y la operación es potencia.
@ajotatxe: ¿Estás seguro de que 1 ∞ = 1 ? también podría ser mi : 1 = límite norte → ∞ ( 1 + 1 / norte ) , ∞ = límite norte → ∞ norte , de este modo 1 ∞ = límite norte → ∞ ( 1 + 1 / norte ) norte = mi :-)
@celtschk He dicho que fue una representación divertida . pero piensa que límite norte → ∞ 1 norte = 1 .

La operación propuesta (concatenar y eliminar ambos miembros de cualquier par consecutivo después de los dos primeros) no es asociativa, ya que

( [ 1 , 2 , 4 ] ∗ [ 5 , 3 ] ) ∗ [ 4 , 12 ] = [ 1 , 4 , 12 ]
pero
[ 1 , 2 , 4 ] ∗ ( [ 5 , 3 ] ∗ [ 4 , 12 ] ) = [ 1 , 2 , 12 ] .

Deshazte de eso, cometí un error.

Creo que esto siempre es un grupo. Existe un elemento neutral a la derecha en este grupo y puede demostrar que es único y también neutral a la izquierda. Así que para todos X ∈ S puede encontrar un inverso por la derecha, para el cual puede demostrar nuevamente que es único y también inverso por la izquierda.

Con respecto a su ejemplo (no puedo comentar debido a una reputación insuficiente): creo que la concatenación está mal definida. ¿Cuál es el resultado de [ 1 , 2 ] ∗ [ 3 , 4 ] ? Lo es [ 1 , 2 ] o [ 1 , 4 ] ? Ambos funcionan dependiendo de la dirección en la que comiences a eliminar los pares ilegales. Ambas variantes no son asociativas: [ 1 , 2 ] ∗ ( [ 3 , 4 ] ∗ [ 5 , 7 ] ) = [ 1 , 2 ] ∗ [ 3 , 7 ] = [ 1 , 7 ] ≠ [ 1 , 2 , 5 , 7 ] = ( [ 1 , 2 ] ∗ [ 3 , 4 ] ) ∗ [ 5 , 7 ] [ 1 , 2 ] ∗ ( [ 3 , 4 ] ∗ [ 5 , 6 ] ) = [ 1 , 2 ] ∗ [ 3 , 4 ] = [ 1 , 4 ] ≠ [ 1 , 6 ] = [ 1 , 4 ] ∗ [ 5 , 6 ] = ( [ 1 , 2 ] ∗ [ 3 , 4 ] ) ∗ [ 5 , 6 ]

¿Es el semigrupo tal que ∀x (x∈S→∃y (y∈S∧∀z (z∈S→zxy=z)))∀x (x∈S→∃y (y∈S∧∀z (z un grupo ?
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