problemas 12 y 13, sec. 2.3, en TOPICS IN ALGEBRA de Herstein, 2.ª ed.: La existencia de solo la identidad del lado derecho y los inversos del lado derecho son suficientes

No necesita verificar que la operación esté definida y sea asociativa: eso ya está dado.

Lo que tienes que mostrar es que

1. $e$es una identidad izquierda así como una identidad derecha (se da la última condición)
2. $a^{-1}a=e$, para cada$a\in G$

Por otro lado, utilizando$a^{-1}$puede ser engañoso, pero su argumento parece bueno. En aras de la claridad, lo denotaré por$b$y$c$elementos tales que$ab=e$y$bc=e$. Su argumento se convierte

La operación que le da a la tabla de Cayley no define una estructura de grupo en$\{e,a,b\}$, porque$ea=eb$, pero$a\ne b$(esto es mejor que decir que “podemos demostrar que$a=b$, lo cual es falso de entrada). Mientras verifique que es asociativo, tiene su contraejemplo.

Creo que sus pruebas de que la identidad correcta también es una identidad izquierda y que el inverso derecho de un elemento también es inverso izquierdo están bien.

Sin embargo, hablar de clausura (o asociatividad) es una exageración ya que estas condiciones ya se suponen.

En cuanto a un contraejemplo, ¿qué tal el siguiente ejemplo?

Elijamos$G$ser el conjunto de todos los números reales distintos de cero, y para cualquier elemento$a, b \in G$, definamos$a*b$como sigue:

$$a*b \colon= a \, \lvert b \rvert.$$

Entonces notamos que, para cualquier elemento$a \in G$, tenemos

$$a * 1 = a = a * (-1).$$ Así ambos$1$y$-1$actúan como elementos de identidad de nuestro derecho.

Y para cada elemento$a \in G$, observamos que el elemento$\frac{1}{\lvert a \rvert } \in G$y obtenemos

$$\frac{1}{ \lvert a \rvert } * a = \frac{1}{ \lvert a \rvert }\, \lvert a \rvert = 1,$$ uno de los dos elementos de identidad.

También para cada$a \in G$, el elemento$-\frac{1}{\lvert a \rvert } \in G$satisface

$$-\frac{1}{\lvert a \rvert} * a = -1,$$ el otro de los dos elementos de identidad correctos.

En cuanto a la asociatividad, para cualquier elemento$a, b, c \in G$, notamos eso

$$a*(b*c) = a * \big(b \, \lvert c \rvert \big) = a \, \big\lvert b \, \lvert c \rvert \big\rvert = a \, \lvert bc \rvert = a \, \lvert b \rvert \, \lvert c \rvert = \big( a \, \lvert b \rvert \big) \, \lvert c \rvert = (a*b) \, \lvert c \rvert = (a*b)*c.$$

Sin embargo, este conjunto$G$con esta operación binaria$*$no es un grupo porque para cualquier$a \in G$, notamos eso

$$1 * a = 1 \, \lvert a \rvert = \lvert a \rvert \neq a$$ cuando$a < 0$, y $$(-1) * a = (-1) \, \lvert a \rvert = - \lvert a \rvert \neq a$$ cuando$a > 0$. Además, si hubiera un elemento$e \in G$tal que $$e*a = a,$$ entonces ese elemento$e$satisfaría $$e \, \lvert a \rvert = a,$$ y por lo tanto $$e = \frac{a}{\lvert a \rvert } = \pm 1.$$ Esto muestra que$G$no tiene elemento de identidad izquierdo. Por lo tanto$G$no puede ser un grupo.

Espero que esto ayude.

Estoy leyendo "Temas de álgebra 2ª edición" de IN Herstein.
Este problema es el Problema 13 en la p.36.

Resolví este problema de la siguiente manera:

Definimos$G$y un producto en$G$como sigue:
$G:=\{e,a\}$.
$e\cdot e=e$.
$e\cdot a=e$.
$a\cdot e=a$.
$a\cdot a=a$.

Este producto es asociativo:

1. $(e\cdot e)\cdot e=e\cdot e=e$.
   $e\cdot(e\cdot e)=e\cdot e=e$.
2. $(e\cdot e)\cdot a=e\cdot a=e$.
   $e\cdot(e\cdot a)=e\cdot e=e$.
3. $(e\cdot a)\cdot e=e\cdot e=e$.
   $e\cdot(a\cdot e)=e\cdot a=e$.
4. $(e\cdot a)\cdot a=e\cdot a=e$.
   $e\cdot(a\cdot a)=e\cdot a=e$.
5. $(a\cdot e)\cdot e=a\cdot e=a$.
   $a\cdot(e\cdot e)=a\cdot e=a$.
6. $(a\cdot e)\cdot a=a\cdot a=a$.
   $a\cdot(e\cdot a)=a\cdot e=a$.
7. $(a\cdot a)\cdot e=a\cdot e=a$.
   $a\cdot(a\cdot e)=a\cdot a=a$.
8. $(a\cdot a)\cdot a=a\cdot a=a$.
   $a\cdot(a\cdot a)=a\cdot a=a$.

(a')
$e\cdot e=e$.
$a\cdot e=a$.

(b')
$e\cdot e=e$.
Entonces,$y(e)=e$.
$e\cdot a=e$.
Entonces,$y(a)=e$.

Desde$e\cdot a=e$,$e$no es un elemento de identidad.
Desde$a\cdot e=a$,$a$no es un elemento de identidad.
Entonces,$G$no tiene elemento de identidad.
Entonces,$G$no es un grupo bajo este producto.