Identidades de grupo e inversas

Un conjunto es un conjunto. Un magma es un conjunto con un operador binario. Un semigrupo es un magma con un operador binario asociativo . Un monoide tiene una identidad de dos caras. Y un grupo tiene inversas de dos lados.

Me pregunto acerca de los versos de un solo lado de dos lados. ¿Bajo qué condiciones un elemento de identidad es necesariamente de dos caras? ¿Bajo qué condiciones una inversa es necesariamente de dos caras? ¿Y cuáles son las pruebas más simples para esto?

Teoremas que tengo hasta ahora:

  • Un magma puede tener múltiples identidades izquierdas distintas o múltiples identidades derechas distintas, pero nunca puede tener una identidad izquierda y derecha distintas. [1: ∀ X . yo X = X . 2: ∀ X . X r = X . 1 implica que yo r = r mientras que 2 implica que yo r = yo . Así que tampoco yo = r o al menos uno de 1 o 2 es falso.]

  • La asociatividad más la existencia de un inverso de dos lados es suficiente para implicar que cualquier inverso tiene dos lados. [Si y es el inverso a la izquierda de X entonces X y X = X ( y X ) = X i = X . Por asociatividad, X y X = ( X y ) X = X , lo que implica que X y = i . En otras palabras, y es también el inverso por la derecha de X .]

Tengo la sensación de que un magma asociativo no puede tener identidades unilaterales, pero no puedo probarlo.

Recuerdo que cualquier tres de {existen todos los inversos a la izquierda, existen todos los inversos a la derecha, existe la identidad de la izquierda, existe la identidad de la derecha} es suficiente para implicar el cuarto en cualquier semigrupo, y creo que hay semigrupos en los que dos cualesquiera se mantienen pero no el otro dos.
@MarkDominus: en ausencia de una identidad específica, ni siquiera está claro qué significa "existen los inversos izquierdos" y "existen los inversos derechos". Es cierto que un semigrupo que tiene identidad por la izquierda e inversas por la izquierda con respecto a esa identidad por la izquierda es un grupo (y lo mismo ocurre con la derecha).
@ChrisEagle Gracias por esta aclaración.
En cuanto a la pregunta al final del OP: para la operación a ∗ b = b , todo es una identidad de izquierda pero (asumiendo que hay al menos dos elementos) nada es una identidad de derecha.

Respuestas (5)

El resultado clásico en esta área es que si GRAMO es un semigrupo con identidad izquierda mi y tal que todo elemento tiene inversa izquierda con respecto a mi , entonces GRAMO es un grupo Hay pruebas de esto por todas partes, en la sección 1.1 del Álgebra de Hungerford, por ejemplo. Por supuesto, lo mismo ocurre con "izquierda" reemplazada por "derecha" en todo momento.

Prueba: Para cualquier gramo en GRAMO , tenemos ( gramo gramo − 1 ) ( gramo gramo − 1 ) = gramo ( gramo − 1 gramo ) gramo − 1 = gramo mi gramo − 1 = gramo gramo − 1 Multiplicando ambos lados de la izquierda por ( gramo gramo − 1 ) − 1 , tenemos mi gramo gramo − 1 = mi y por lo tanto gramo gramo − 1 = mi . De este modo gramo − 1 es de hecho un inverso de dos lados de gramo (con respecto a la identidad mi ). Además, gramo mi = gramo ( gramo − 1 gramo ) = ( gramo gramo − 1 ) gramo = mi gramo = gramo , y por lo tanto mi es una identidad de dos caras.

En el lado de los contraejemplos, una estructura fértil para mirar es cualquier conjunto de al menos dos elementos con la operación a ∗ b = b . Este es un semigrupo en el que cada elemento es una identidad izquierda, mientras que ningún elemento es una identidad derecha. Además, si fijamos una identidad izquierda mi , entonces todo elemento tiene un inverso derecho (también mi ) con respecto a mi , mientras que solo mi tiene inversa a la izquierda (de hecho todo queda inverso a ella). Si relajamos la condición " a tiene una izquierda inversa" para significar "existe b tal que b a es una identidad de izquierda" (en lugar de elegir una identidad específica y apegarse a ella), entonces todo queda inverso a todo.

Creo que en el segundo párrafo, quieres decir que cada elemento tiene un inverso correcto con respecto a mi , mientras que solo mi tiene un inverso izquierdo (de lo contrario, esto contradice el resultado en su primer párrafo).
@Ted, sí, gracias.
+1 para una respuesta claramente escrita. Sin embargo, no responde completamente a mi pregunta; Todavía no me queda claro si un operador simplemente siendo asociativo garantiza que cualquier elemento de identidad tenga dos caras o no. Tenga en cuenta que no tengo acceso a ningún libro de texto; Solo soy un chico al azar en mi habitación tratando de aprender algunas matemáticas básicas. Si alguien pudiera hacerme un breve resumen del argumento esencial, sería genial.
@MathematicalOrchid: Mi ejemplo tiene identidades unilaterales pero no bilaterales. Reproduciré el argumento de Hungerford cuando tenga tiempo.
Sin embargo, no pensé que tu ejemplo fuera asociativo. (?)
@MathematicalOrchid: es claramente asociativo (y, por lo tanto, un semigrupo, como afirmé): ( a ∗ b ) ∗ C = b ∗ C = C = a ∗ C = a ∗ ( b ∗ C ) .
Estoy corregido.
Esta es la mejor respuesta que obtuve, así que... ten un representante.

La cancelabilidad es una condición fuerte que implica que las identidades unilaterales y los inversos son bilaterales en los semigrupos. Dejar S sea ​​un semigrupo. Decimos S es cancelable cuando

a C = b C ⟹ a = b , C a = C b ⟹ a = b .

Decimos mi ∈ S es idempotente cuando mi 2 = mi . Dejar S sea ​​un semigrupo cancelativo.

Hecho 1. Deja mi ∈ S ser idempotente. Entonces mi es un elemento de identidad de dos caras.

Prueba. mi X = mi 2 X y así por cancelatividad X = mi X . Análogamente X = X mi .

Hecho 2. Deja mi ∈ S ser un elemento de identidad de dos caras. Cualquier inversa izquierda o derecha con respecto a mi en S es un inverso de dos lados.

Prueba. Dejar X y = mi . Entonces X y X = mi X = X = X mi , y así por cancelatividad y X = mi .

Hecho 3. Deja mi ∈ S ser un elemento tal que exista X ∈ S tal que mi X = X o X mi = X . Entonces mi es un elemento de identidad de dos caras en S .

Prueba. Suponer mi X = X . Para cualquier y ∈ S , tenemos y X = y mi X , de donde por cancelatividad y = y mi . Por lo tanto mi es un elemento de identidad correcto. Pero entonces mi = mi 2 entonces mi es idempotente. De este modo mi es un elemento de identidad de dos caras. Funciona de manera análoga para la suposición de que X mi = X .

Tenga en cuenta que el Hecho 3. es mucho más fuerte que la afirmación de que los elementos de identidad de una cara son automáticamente de dos caras.

De hecho, cuando S es finito, podemos probar que en realidad es un grupo.

Prueba. Dejar S = { X 1 , … , X norte } y X ∈ S . Dejar L = { X X 1 , … , X X norte } . Entonces es fácil ver que la cancelabilidad implica

S = L .

Por lo tanto, hay i tal que X = X X i . Del hecho 3 se sigue que X i es un elemento de identidad de dos caras en S . Pero también, debe haber j tal que X i = X X j . Por lo tanto X tiene inversa a la derecha. Pero entonces también debe ser inversa a la izquierda por el Hecho 2. Por lo tanto S es un grupo

( { 0 , 1 , 2 , … } , + ) es un ejemplo de un monoide cancelativo que no es un grupo. El elemento de identidad es 0 y tiene dos lados como lo requieren los hechos anteriores, pero no hay unidades (elementos invertibles) excepto 0.

¿La propiedad cancelativa está relacionada con la tabla Cayley del operador que no tiene duplicados en una fila o columna determinada?
Sí, la cancelación es equivalente a que tanto las filas como las columnas sean inyectivas. También hay propiedades cancelativas unilaterales de las cuales una es equivalente a que las filas sean inyectivas y la otra a que las columnas sean inyectivas. (No digo cuál es equivalente a cuál porque depende de cómo se escribe la tabla de Cayley). Tenga en cuenta que todas las pruebas, excepto la primera, requieren asociatividad. Me encantaría ver contraejemplos en magmas no asociativos.
@MathematicalOrchid Si bien las filas y columnas deben ser inyectivas en semigrupos cancelativos, no es necesario que sean sobreyectivas. Este es el caso del último ejemplo en mi respuesta. Sólo la fila correspondiente a 0 es sobreyectiva allí. Sin embargo, para conjuntos finitos inyectiva=sobreyectiva y es por eso que la prueba anterior funciona.

Puede encontrar su respuesta en el siguiente artículo de AH Clifford en Annals of Mathemtics, volumen 34 (1933), páginas 865-871:

"Un sistema que surge de un conjunto debilitado de postulados grupales"

http://www.jstor.org/stable/1968703

Clifford y Preston, Teoría algebraica de semigrupos , vol. 1, cubre los siguientes hechos:

  • Si un semigrupo tiene una identidad izquierda y una identidad derecha, entonces son lo mismo y es una identidad de dos lados. (Tenga en cuenta que no se necesitan inversas para este hecho).
  • [Dickson, 1905] Si un semigrupo tiene una identidad izquierda mi y débil inversa izquierda para cada elemento con respecto a mi , entonces es un grupo. (Eso es, mi resulta ser una identidad correcta y los inversos débiles resultan ser inversos bilaterales únicos.)
  • [Weber, 1986, Huntington, 1901] Si un semigrupo tiene cocientes débiles, es decir, para cada a y b allí existe X y y tal que a X = b y y a = b , entonces es un grupo.

Creo que las demostraciones de todos ellos son más o menos sencillas, y es instructivo resolverlas por uno mismo.

Aunque gran parte de los hechos han sido escritos. Solo como resumen, la prueba de todo se puede encontrar en el documento "Un sistema que surge de un conjunto debilitado de postulados grupales" mencionado por el usuario 83548

Sea (G, *) un semigrupo con un conjunto no vacío E que consta de identidades izquierdas de G.

  1. para todo g en G y para todo e en E existe h en h tal que h*g=e, entonces es grupo

  2. Para todo g en G y todo e en E existe h en G tal que g*h = e, entonces no es necesario un grupo.

  3. para todo g en G existe e en E y existe h en G tal que h*g=e, entonces G puede no ser un grupo (Ver diferencia entre 2. y 3. y 5.)

  4. para todo g en G existe e en E y existe h en G tales que g*h=e, entonces G puede no ser grupo.

  5. existe e(fijo) en E tal que para todo g en G existe h en G tal que h*g=e entonces G es grupo. (problema de IN Herstein)

  6. existe e (fijo) en E tal que para todo g en G existe h en G tal que g*h=e entonces G no necesita ser un grupo (Ver diferencia entre 2. y 3.) (problema de Herstein )

  7. Si E es singleton entonces con condiciones de 3. G es un grupo.

Nota: (a) 2. 3. 4. y 6. son condiciones equivalentes bajo una hipótesis dada (objetivo del artículo) que forman una estructura algebraica llamada 'Grupos múltiples'

El ejemplo de un grupo múltiple que no es un grupo es fácil de construir (consulte el documento como referencia si no puede construirlo)

(b) 5. con condiciones dadas se toma como definición de grupo en 'Álgebra de Van der Waerden'. Pero asegúrese de diferenciar entre 2. y 5. porque al notar esta diferencia, AH CLIFFORD descubrió estos hechos.

(c) Alrededor de 7. Necesitas ejercitarte un poco. como referencia, lea el índice de grupo múltiple en el documento proporcionado.

(d) Y el último hecho importante que organiza completamente todos los hechos en una dirección es: 2. 3. 4. y 6. son equivalentes a: para todo a, b en G, la ecuación xa=b tiene una solución única (bajo la hipótesis dada) lo que implica la ley de cancelación izquierda.

Lo siento, no sé cómo escribir el símbolo 'para cada' y 'existe' y 'pertenece a'. Si alguien puede modificar la respuesta con frases reemplazadas por sus símbolos, la respuesta será más representativa y clara.
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