La sobreyectividad de las traslaciones derecha e izquierda implica que el semigrupo es de hecho un grupo

Quiero mostrar un conjunto de declaraciones en un semigrupo. GRAMO son equivalentes. Las traslaciones izquierda y derecha están dadas por yo gramo ( h ) = gramo h y r gramo ( h ) = h gramo respectivamente.

  1. GRAMO es un grupo
  2. Para todos gramo ∈ GRAMO ambos yo gramo y r gramo son biyectivas
  3. Para todos gramo ∈ GRAMO r gramo es sobreyectiva y existe un F ∈ GRAMO calle yo F es sobreyectiva

Las implicaciones de 1. a 2. y 2. a 3. me las arreglé. Pero estoy luchando para probar 3. implica 1. Creo que solo necesito mostrar la existencia de los elementos neutrales e inversos, como GRAMO es por suposición un semigrupo y por lo tanto cerrado.

Un elemento neutral para cada elemento debe estar en GRAMO como r gramo es sobreyectiva por lo que en particular ∀ gramo ∈ GRAMO : ∃ mi ∈ GRAMO calle gramo = r gramo ( mi ) . ¿Cómo puedo demostrar que esta e es la misma para todos gramo ?

Todavía no veo cómo puedo mostrar que los elementos inversos se encuentran en GRAMO

¿Supongo que no permite el semigrupo vacío?
Has demostrado que para cada gramo ∈ GRAMO existe mi ∈ GRAMO , que puede depender de gramo , con mi gramo = gramo . No has demostrado que lo mismo mi funciona para cada GRAMO , por lo que no has demostrado que GRAMO tiene un elemento neutro.
@ArturoMagidin editado para reflejar tu comentario, gracias
@ArturoMagidin, aunque no se indica explícitamente, creo que implícitamente no permiten el semigrupo vacío. Sin embargo, es un buen punto, ni siquiera pensé en ese contraejemplo.
Muchos autores no permiten el semigrupo vacío; eso satisfaría 2, pero ni 1 ni 3.
@ArturoMagidin el ejercicio nos pide que comprobemos las afirmaciones, por lo que creo que fue un descuido por parte del autor.
O el autor puede simplemente haber definido "semigrupo" para excluir el conjunto vacío. Eso es bastante común.

Respuestas (1)

(De la declaración, parece claro que el autor en particular no considera que el conjunto vacío sea un semigrupo; esto no importa para la implicación 3 ⇒ 1 , como implica la declaración de 3 GRAMO no es vacío, pero afecta la prueba de 2 ⇒ 3 .)

Dejar mi F ser tal que mi F F = F . Para cada gramo ∈ GRAMO , existe X tal que F X = gramo ; por lo tanto, por cada gramo ∈ GRAMO tenemos

mi F gramo = mi F ( F X ) = ( mi F F ) X = F X = gramo .
De este modo, mi F es una identidad izquierda para GRAMO .

y por cada gramo ∈ GRAMO existe X tal que X gramo = mi F . De este modo, GRAMO tiene una identidad por la izquierda y cada elemento tiene un inverso por la izquierda. Se sabe que estas dos condiciones garantizan que un semigrupo es de hecho un grupo.

Para futuros lectores: aquí hay una prueba del hecho de que estas dos condiciones garantizan que un semigrupo es un grupo. youtube.com/watch?v=E1WNqKSDGio
@RubenKruepper: El problema se solucionó en este sitio ; que uno es para identidad correcta e inversa derecha, pero la solución es la misma mutatis mutandis .
La sobreyectividad de las traslaciones derecha e izquierda implica que el semigrupo es de hecho un grupo
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