Todo semigrupo inverso es un grupo.

De hecho, hay muchos monoides inversos que no son grupos. Solo considere, por ejemplo, el conjunto de todas las funciones inyectivas parciales de un conjunto$E$en sí mismo, bajo composición.

Un elemento$x$de un semigrupo se llama inversa débil de$y$si$xyx = x$. se llama inversa de$y$si$xyx = x$y$yxy = x$, es decir, si$x$es un inverso débil de$y$y$y$es un inverso débil de$x$.

El resultado que mencionas establece que

Un semigrupo no vacío es un grupo si y solo si cada elemento es un inverso débil de exactamente un elemento.

Edito, siguiendo el comentario de Tristan Brice .

Como observó Tristan Brice, el siguiente resultado dual no se cumple:

Un semigrupo no vacío es un grupo si y solo si cada elemento tiene exactamente un inverso débil.

Solo se mantiene un resultado más débil (y más simple)

Un monoide es un grupo si y solo si cada elemento tiene exactamente un inverso débil.

Dejar$M$ser el monoide y dejar$s$ser un elemento de$M$. Dejar$\bar s$Sea el único inverso débil de$s$. Entonces$\bar s s \bar s = \bar s$y por lo tanto$s\bar s$y$\bar ss$son idempotentes. afirmo que$1$es el único idempotente de$M$contiene un idempotente único. De hecho, deja$e$ser un idempotente. Desde$1e1 = eee = e$,$e$y$1$ambos son inversos débiles de$e$y por lo tanto$e = 1$. volviendo a$s$, obtenemos$s\bar s = \bar ss = 1$y por lo tanto$S$es un grupo

Consideremos el ejemplo canónico de un semigrupo inverso que J.-E. Pin mencionó en su respuesta, el semigrupo de biyecciones parciales en un conjunto. Para ser concretos, tomemos nuestro conjunto como$[3]=\{1,2,3\}$y llamamos a nuestro semigrupo resultante$S$.

Considere el elemento$f:\{1,2\}\rightarrow\{2,3\}$definido por$f(1)=2$y$f(2)=3$. Entonces$f$tiene un inverso único$f^*:\{2,3\}\rightarrow\{1,3\}$definido por$f^*(2)=1$y$f^*(3)=2$. Puedes verificar fácilmente que

$$f\circ f^*\circ f = f,\ \ \ \ \ \text{and}\ \ \ \ f^*\circ f \circ f^* = f^*,$$ y de hecho, puedes comprobar que $f^*$es el único elemento de $S$que cumplen ambas condiciones. Pero hay otros que satisfacen individualmente cada una de las dos condiciones anteriores. Por ejemplo, $f^{**}:[3]\rightarrow [3]$definido por $f^{**}(1)=3$, $f^{**}(2)=1$, y $f^{**}(3)=2$. Entonces también tenemos $$f\circ f^{**} \circ f = f,$$ pero ya no tenemos $$f^{**} \circ f \circ f^{**} = f^{**}.$$ De hecho, $f^{**} \circ f \circ f^{**}$es la restricción de $f^{**}$a $\{2,3\}$.

Así que hay una clara diferencia entre:

i. un semigrupo$S$tal que por cada$x\in S$, existe un único$y\in S$tal que$xyx=x$.

ii. un semigrupo$S$tal que por cada$x\in S$, existe un único$y\in S$tal que ambos $xyx=x$ y $yxy=y$.

Y la condición ii es estrictamente más débil que la condición i . Puede probar que cualquier semigrupo que satisfaga la condición i es un grupo completo. No puede hacer lo mismo con la condición ii , que define semigrupos inversos. El semigrupo de biyecciones parciales es un ejemplo explícito de esto.