¿Este axioma particular sobre un semigrupo garantiza que es un grupo?

Actualización : Eric Wofsey ha demostrado la conjetura en el caso conmutativo a continuación, y Tobias Kildetoft ha proporcionado un simple contraejemplo de la afirmación no conmutativa.

Este posible reemplazo de los axiomas de grupo habituales fue sugerido por el usuario del canal ##math IRC Aleric, y hasta ahora no se ha encontrado ninguna solución. En su forma original, la conjetura dice:

Dejar$(S,+)$sea ​​un semigrupo conmutativo no vacío que satisfaga el siguiente axioma de "reversibilidad": para todo$x,y \in S$, existe un$z \in S$tal que

$$x + y + z = x.$$ Entonces existe una identidad, es decir, un elemento $0 \in S$tal que $x + 0 = x$para todos $x \in S$.

Por supuesto, si esto es cierto, entonces la identidad debe ser única, y$S$se convierte en un grupo abeliano aplicando el axioma de reversibilidad a$0,x$.

Supongo que uno podría descartar fácilmente la condición de conmutatividad y formular una conjetura más fuerte de la siguiente manera:

Dejar$(S,\cdot)$sea ​​un semigrupo no vacío que satisfaga el siguiente axioma de "reversibilidad": para todo$x,y \in S$, allí existe$z,w \in S$tal que

$$xyz = wyx = x.$$ (La verdad es que no me queda claro si no deberíamos pedir un único elemento $z = w$en cambio.)

Entonces existe una identidad, es decir, un elemento$1 \in S$tal que$x1 = 1x = x$para todos$x \in S$.

De nuevo$S$se convierte en un grupo aplicando el axioma de reversibilidad a$1,x$.

He comprobado todos los semigrupos conmutativos de orden$3$y no encontré ninguno que satisfaga este axioma y no sean grupos, pero esto no es muy satisfactorio. Estoy buscando una prueba de una conjetura o un contraejemplo.