¿Es un grupo un semigrupo GGG con identidad izquierda e inversa derecha?

El Álgebra de Hungerford plantea la pregunta: ¿Es cierto que un semigrupo GRAMO que tiene un elemento de identidad a la izquierda y en el que cada elemento tiene un inverso a la derecha es un grupo?

Ahora bien, si tanto la identidad como la inversa son del mismo lado, esto es simple. Porque, en lugar de lo anterior, digamos que todo elemento tiene un inverso a la izquierda. Para a ∈ GRAMO denote este inverso izquierdo por a − 1 . Entonces

( a a − 1 ) ( a a − 1 ) = a ( a − 1 a ) a − 1 = a a − 1

y podemos usar el hecho de que

C C = C ⟹ C = 1

para obtener que los inversos son de hecho de dos caras:

a a − 1 = 1

De lo que se sigue que

a = 1 ⋅ a = ( a a − 1 ) a = a ( a − 1 a ) = a ⋅ 1

como se desee.

Pero en el escenario dado no podemos usar C C = C ⟹ C = 1 , y no puedo ver otra manera de probar esto. Al mismo tiempo, no puedo encontrar un contraejemplo. ¿Hay una solución simple a esta pregunta?

@Comportamiento marcado como duplicado de pregunta incorrecta. La pregunta correcta está aquí Marcando de nuevo.
@Bartek Pero creo que este tiene mejores respuestas que el otro. El otro debe estar cerrado.
@Behaviour Sí, pero hay un tercero que ya está marcado como duplicado de ese. No estoy seguro de cuál es la convención. Solo les estoy avisando a los moderadores.

Respuestas (4)

Dejar GRAMO tener al menos dos elementos, uno de los cuales llamaré mi . Definir la operación binaria ∗ en GRAMO por X ∗ y = y para todos X , y ∈ GRAMO ; eso se comprueba facilmente ∗ es asociativo. Claramente mi ∗ X = X para todos X ∈ GRAMO , entonces mi es una identidad de izquierda. Y X ∗ mi = mi para cada X ∈ GRAMO , entonces mi es un inverso derecho para cada elemento de GRAMO (con respecto a la identidad izquierda mi ). Claramente GRAMO no tiene una identidad de dos caras, por lo que no es un grupo.

Por supuesto, esto es un poco extraño, ya que puedo elegir cualquier elemento de GRAMO ser la identidad izquierda, y luego se convierte en el inverso derecho de cada elemento.

Un contraejemplo concreto, que se encuentra en "A First Course In Abstract Algebra" de John B. Frayleigh, séptima edición:

Dejar R ∗ sea ​​el conjunto de todos los números reales excepto 0 . Definir ∗ en R ∗ Dejando a ∗ b = | a | b , para todos a , b ∈ R ∗ .

Verifique que este es un semigrupo, contiene una identidad por la izquierda y un inverso por la derecha para cada elemento en R ∗ , pero no un inverso izquierdo para cada elemento (considere valores negativos), y no hay identidad derecha.

Aquí R ∗ tiene ambos 1 y − 1 como identidades de izquierda. Si − 1 es la identidad izquierda al definir inversas, los valores negativos tienen inversas izquierdas y los valores positivos no. En general: para cualquier elección de identidad izquierda mi , el subconjunto de elementos que son inversos correctos WRT mi formar un grupo con respecto a la operación. Boceto de prueba: para cualquier X ∈ R dejar y ser un derecho inverso de X y z un derecho inverso de y . Entonces mi = X y = X mi y = X ( y z ) y = ( X y ) ( z y ) = mi z y = z y , es decir z es también un inverso izquierdo de y . Luego, los inversos de identidad izquierda y de doble cara hacen que el (subconjunto de) inversos derechos sea un grupo.

Considere un grupo de cualquier conjunto de enteros que contengan 1 con el producto a*b = b. Entonces 1 es una identidad izquierda, ya que 1*b = b. (De hecho, cada número es una identidad izquierda). Y 1 es un inverso derecho para todo, ya que a*1 = 1, el elemento de identidad. (La asociatividad es fácil.) Pero obviamente esto no es un grupo.

Si C C = C que C se llama elemento idempotente.

El semigrupo con unidad izquierda e inversa derecha se llama sistema izquierdo derecho o abreviado ( yo , r ) sistema.

Si tomas todos los elementos idempotentes de ( yo , r ) sistema que también forman ( yo , r ) sistema llamado idempotente ( yo , r ) sistema. En tal sistema la multiplicación de dos elementos es igual al segundo elemento porque si tomas F y gramo ser dos de esos elementos, y mi es la unidad, que

F gramo = F mi gramo = F F F − 1 gramo = F F − 1 gramo = mi gramo = gramo .

Entonces, cada elemento en tal sistema es unidad izquierda y también inversa derecha y cualquier sistema no es un grupo porque ningún elemento puede ser unidad derecha.

Ahora también es fácil ver que, si defines la multiplicación de dos elementos para que sea igual al segundo, obtienes idempotente ( yo , r ) sistema, que obviamente no es un grupo.

Para obtener más detalles y algunos datos adicionales, consulte el artículo de 1944 de Henry B. Mann llamado "Sobre ciertos sistemas que no son grupos". Puede buscarlo fácilmente en Google y encontrarlo en línea.

La referencia a este artículo se menciona en alguna parte al principio del libro "La teoría de los grupos" de Marshall Hall.

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