¿Estos axiomas grupales unilaterales “ultradébiles” garantizan un grupo?

Question

¿Estos axiomas grupales unilaterales “ultradébiles” garantizan un grupo?

axiomas
semigrupos
Matemáticas
teoría de grupos
álgebra abstracta

WillG

Esta publicación muestra que los axiomas del grupo "izquierdo", que solo garantizan una identidad por la izquierda y los inversos por la izquierda, son suficientes para garantizar que un semigrupo es un grupo. La misma idea podría usarse para mostrar que los axiomas de grupo "correctos" también son suficientes. Estos conjuntos de axiomas podrían considerarse axiomas de grupo "débiles", pero tengo curiosidad por saber si podemos volvernos más débiles. Considere los siguientes axiomas "ultradébiles":

Dejar $G$ ser un conjunto y $*$ ser una operación binaria en $G$ satisfactorio:

$*$ es asociativo.

Existe un elemento de identidad ultradébil $e\in G$ tal que para todos $x\in G,$ cualquiera $e*x = x$ o $x*e=x$ (es decir, la "lateralidad" de $e$ puede diferir para cada elemento de $G$ ).

Para todos $x \in G$ existe un inverso ultradébil $x^{-1}\in G$ tal que o bien $x^{-1} * x = e$ o $x*x^{-1}=e$ (es decir, cada elemento de $G$ tiene al menos un lado inverso, donde el lado puede diferir para cada elemento).

¿Garantizan estos axiomas que $(G,*)$ es un grupo? Y si no, ¿cuánto más podemos acercarnos a estos axiomas, comenzando solo con los axiomas izquierdos o derechos "débiles"? [Por ejemplo, quizás sea suficiente asumir un elemento de identidad ultradébil con inversos izquierdos (o derechos).]

ACTUALIZACIÓN REVISADA:

En los comentarios a la respuesta aceptada por Vincent, @Yakk pregunta si la siguiente condición es suficiente para garantizar un grupo (asumiendo la asociatividad de $*$ ):

existe un $e\in G$ tal que para todos $x\in G$ , ya sea (1) $e*x=x$ y existe un $x'\in G$ tal que $x'*x=e$ , o (2) $x*e=x$ y existe un $x'\in G$ tal que $x*x'=e$ .

Al principio pensé que esto era cierto debido a los casos estándar de "identidad izquierda + inversos izquierdos" e "identidad derecha + inversos derechos" que se aplicaban elemento por elemento, pero ahora me doy cuenta de que este razonamiento es defectuoso (estas pruebas también requieren el inverso unilateral tener su propio inverso unilateral con la misma cara).

Entonces la pregunta sigue siendo: ¿La condición anterior, propuesta por @Yakk, garantiza un grupo? Proporcione una prueba o un contraejemplo.

La respuesta a la actualización revisada es "sí"; ver aquí _ Queda una pregunta adicional sobre condiciones aún más débiles, donde las identidades de izquierda y derecha pueden ser elementos diferentes. He preguntado eso aquí .

Derek Holt

Es bien sabido (ver aquí ) que asumir la existencia de una identidad izquierda e inversas derechas para todos los elementos no es suficiente para definir un grupo, y esto muestra que los axiomas propuestos también son insuficientes.

suzuki brauer

Permítanme agregar que los grupos se pueden definir mediante un solo axioma (bastante complicado). Hay muchas maneras de hacerlo, consulte, por ejemplo, cs.unm.edu/~mccune/projects/gtsax

Respuestas (3)

¿Estos axiomas grupales unilaterales “ultradébiles” garantizan un grupo?

Es bien sabido (ver aquí ) que asumir la existencia de una identidad izquierda e inversas derechas para todos los elementos no es suficiente para definir un grupo, y esto muestra que los axiomas propuestos también son insuficientes.
Permítanme agregar que los grupos se pueden definir mediante un solo axioma (bastante complicado). Hay muchas maneras de hacerlo, consulte, por ejemplo, cs.unm.edu/~mccune/projects/gtsax

Vicente · Answer 1

¿Qué axiomas son suficientes para garantizar un grupo?

Suponiendo asociatividad. Los "inversos de dos lados" solo requieren que haya un inverso izquierdo y un inverso derecho para cada elemento, no tienen que ser iguales.

Identidad \ Inversa	dos caras	Unilateral	ultradébil
dos caras	$\color{green}{\checkmark}$	$\color{green}{\checkmark}$	$\color{green}{\checkmark}$
Unilateral	$\color{green}{\checkmark}$	Solo si es del mismo lado	$\color{red}{\mathcal{X}}$
ultradébil	$\color{green}{\checkmark}$	$\color{red}{\mathcal{X}}$	$\color{red}{\mathcal{X}}$

Identidad por la izquierda e inversas por la izquierda: Suficiente $\color{green}{\checkmark}$
Identidad izquierda e inversa derecha: No es suficiente (respuesta de Noah) $\color{red}{\mathcal{X}}$
Identidad ultradébil e inversos de dos caras: suficiente (ver más abajo) $\color{green}{\checkmark}$
Identidad de dos caras e inversos ultradébiles: suficiente (ver más abajo) $\color{green}{\checkmark}$

En resumen, una vez que las identidades o los inversos tienen dos caras, tenemos un grupo. Pero si ese no es el caso, la única forma de garantizar un grupo es si la identidad y los inversos están siempre del mismo lado.

La identidad ultradébil y los inversos de dos caras son suficientes

Solo requerimos que haya un inverso izquierdo y un inverso derecho para cada elemento, no tienen que ser iguales.

Mostramos que $e$ es una identidad izquierda para cada elemento. Como hemos dejado las inversas, la afirmación se sigue de esta respuesta . para un elemento $a$ , la identidad ultradébil produce $ea=a$ o $ae = a$ . Sólo tenemos que centrarnos en el segundo caso. $a$ tiene un inverso derecho $a'$ , y $a'$ tiene un inverso derecho $a''$ . De este modo, $a = a e = a (a' a'') = (a a') a'' = e a''$ . Esto muestra que $ea = e(e a'') = e a'' = a$ según sea necesario.

La identidad de dos caras y los inversos ultradébiles son suficientes

En efecto, en este caso $x^2=x$ implica $x=e$ para todos $x$ . Así, si a tiene inversa por la derecha $b$ , tenemos $ab=e$ y por lo tanto $ba=b(ab)a=(ba)^2$ , de modo que $ba=e$ , por lo tanto $b$ es también el inverso izquierdo.

Respuesta a la ACTUALIZACIÓN REVISADA

Decidí rastrear esto en una pregunta separada. Vea esta pregunta y respuesta.

¡Excelente! Me gusta la organización y la integridad de esta respuesta.
Nota al margen sobre el invertible $n\times n$ matrices que forman un grupo, con respecto a mi comentario a la respuesta de Noah:
Dejar $V$ sea un espacio vectorial y sea $\mathcal L_{wi}$ sea el conjunto de todos los operadores lineales en $V$ con al menos una inversa unilateral. Algunos contraejemplos sencillos muestran que $\mathcal L_{wi}$ no tiene por qué ser un grupo si $V$ es infinitamente dimensional, aunque $\mathcal L_{wi}$ tiene un inverso de dos lados. Esto me hizo dudar de su prueba final, hasta que me di cuenta del problema: $\mathcal L_{wi}$ es solo un monoide si $V$ es de dimensión finita, porque de lo contrario $\mathcal L_{wi}$ no está cerrado bajo multiplicación/composición.
Por lo tanto, su prueba final, combinada con una prueba separada de que el producto de dos $n\times n$ matrices débilmente invertibles produce una matriz débilmente invertible, equivale a una prueba de que $AB=I\implies BA=I$ , que no se traslada al caso de dimensión infinita.
¿Qué pasa si para cada elemento, tiene una identidad izquierda o derecha? Y tiene una inversa en el mismo lado. Pero diferentes elementos pueden ser de izquierda o de derecha.
@Yakk ¡Buen punto! Creo que esas condiciones también garantizan un grupo. En otras palabras, supongamos que tenemos un semigrupo $(G,*)$ donde existe alguna $e\in G$ tal que, por todo $x\in G$ , ya sea (1) $e*x=x$ y $x$ tiene inversa a la izquierda, o (2) $x*e=x$ y $x$ tiene inversa a la derecha.
Creo que en este caso tenemos un grupo, porque las pruebas para el caso de "identidad izquierda + inversos izquierdos" y el caso de "identidad derecha + inversos derechos" todavía funcionan aquí, elemento por elemento. Por lo tanto, el gráfico anterior debe modificarse para que el cuadro "ultradébil/ultradébil" diga "solo si el mismo lado por elemento". Dejaré que @Vincent confirme esto y realice la actualización.
De hecho, todos los demás casos de "marca de verificación" en el gráfico son casos especiales de este caso "ultradébil-ultradébil + mismo lado por elemento". En cuanto a este esquema de organización, creo que @Yakk ha encontrado la condición más débil (y por lo tanto más general) posible que garantiza un grupo.
@wiilg ahora intente que la identidad izquierda y derecha no sean el mismo elemento (tal vez). Sospecho que perdemos grupalidad.
@Yakk También lo dudo, porque las pruebas de "identidad izquierda + inversa izquierda" e "identidad derecha + inversa derecha" ya no funcionan. Pero no estoy seguro, he editado la publicación principal para incluir esta pregunta.
@Yakk Pensándolo bien, creo que cometí un error al afirmar que el caso de "identidad ultradébil + inverso ultradébil + mismo lado por elemento" produce un grupo. La prueba para el caso de "identidad izquierda + inversos izquierdos" requiere que el inverso de cada elemento también tenga un inverso izquierdo, que ya no está garantizado.
@willg Sí, los inversos de los elementos "zurdos" son (¿pueden ser?) "diestros" (ya que el elemento zurdo es el inverso diestro de su inverso zurdo)
@Yakk Cierto. Todavía puede darse el caso de que esta condición sea suficiente para garantizar un grupo, pero no estoy seguro. He vuelto a revisar la publicación para preguntar sobre esto.
@WillG He hecho algunos progresos al respecto, pero aún no hay pruebas. Pero creo que sería mejor agregar una nueva pregunta sobre esto, ya que se está volviendo un poco difícil de seguir para otros usuarios.
@WillG Encuentre la respuesta aquí: math.stackexchange.com/questions/4252780/…

noah schweber · Answer 2

Considere cualquier conjunto $X$ equipado con la operación de proyección izquierda

* : (a, b) \mapsto a .

$*:(a,b)\mapsto a.$ La asociatividad es trivial. Mientras tanto, cada elemento es una identidad (correcta): la fijación

e \in X

$e\in X$ tenemos

x * e = x

$x*e=x$ para todos

x \in X

$x\in X$ . Del mismo modo, la fijación

e \in X

$e\in X$ podemos pensar en

e

$e$ mismo como el "inverso ultradébil (izquierda) de

x

$x$ con respecto a

e

$e$ "- ya que satisface

e * x = e

$e*x=e$ .

Entonces $Proj(X):=(X,*)$ satisface una versión muy fuerte de los axiomas que enumeras. Pero tan pronto como $X$ tiene más de un elemento, $Proj(X)$ está muy lejos de un grupo.

Re: la brecha entre esta noción y la agrupación total, tenga en cuenta que, de manera crucial, en lo anterior tenemos un contraste entre las formas en que se satisfacen el segundo y el tercer axioma: cada elemento es una identidad correcta , pero solo tenemos inversos izquierdos . Mientras tanto, la publicación vinculada en el OP muestra que si exigimos la identidad derecha + los inversos derechos, o la identidad izquierda + los inversos izquierdos, obtenemos una agrupación completa. Por lo tanto, no es tanto que un solo tipo de "lateralidad" pueda variar de un elemento a otro, sino que no se requiere que las "lateralidades" relevantes sean las mismas, lo que da una noción débil.

Ah, había asumido hasta ahora que la identidad izquierda + los inversos derechos (o viceversa) era suficiente. Pero dado que este no es el caso, tal vez no podamos hacerlo mejor que los débiles axiomas de la izquierda (o la derecha) de la publicación vinculada.
Supongo que me estoy metiendo en territorio de "nuevas preguntas", pero ¿qué tal un monoide con inversos ultradébiles, es decir, un conjunto con una operación binaria asociativa, identidad de dos caras e inverso ultradébil para cada elemento? Este ejemplo está inspirado en (individualmente ya sea izquierda o derecha) invertible $n\times n$ matrices, que de hecho forman un grupo.
@WillG Su pregunta me inspiró a agregar una respuesta que resuma la situación

suzuki brauer · Answer 3

No, estos no son suficientes. Considere el conjunto de las dos matrices

(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix})

$\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}$ con respecto a la multiplicación de matrices.

Esta y las respuestas de Noah son buenos y simples contraejemplos. Pero voy a dejar la pregunta abierta por un rato para ver si alguien tiene algo que decir con respecto a la segunda parte de mi pregunta, la cláusula "si no...".
@WillG Como muestra mi respuesta, incluso si "arreglamos un lado" por separado para los axiomas (2) y (3), todavía estamos lejos de la agrupación. Mientras tanto, si "arreglamos un lado" para ambos axiomas a la vez (por ejemplo, identidad/inversos débiles a la izquierda), entonces esto se reduce a la publicación vinculada anteriormente. Así que creo que esto destaca una brecha clave.
Mi ejemplo también muestra que "izquierda-neutral + derecha-inversa" no es suficiente.

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