¿Es suficiente la inversa para que un semigrupo sea un grupo?

Si ( A , ⋅ ) es un conjunto con una operación cerrada ( a , b ∈ A → a ⋅ b ∈ A ) y asociativo exigiendo que sea inverso (tanto de izquierda como de derecha) debe convertirlo en un grupo? ya que debemos tener un elemento de identidad por la definición de inversa ( a ⋅ a − 1 = 1 ) para que "obtengamos la identidad gratis"?

No estoy seguro de haber entendido correctamente su pregunta, pero si está hablando de inversas, debe tener una identidad para empezar.
¿Cómo define la noción de inversa si no hay un elemento de identidad? ¿No es el (derecho) inverso de a definida como la solución única de a b = 1 ?
@OlivierMoschetta ¿Funcionará esto? Dado gramo hay un gramo 1 tal que gramo gramo 1 h = h para todos h ∈ GRAMO

Respuestas (1)

Te estás perdiendo otra estipulación: que A no está vacío . Las otras propiedades se mantienen vacías pero no son suficientes para ( A , ⋅ ) ser un grupo.

Una vez que hay un a ∈ A , entonces, por inversa, existe un a − 1 ∈ A que, además, se multiplica con a para, de hecho, obtener un elemento de identidad.

Al contrario de lo que se dice en los comentarios, uno puede tener (al menos una forma modificada de) inversas sin identidad. Un semigrupo inverso S es uno en el que para todos s ∈ S existe un t ∈ S tal que s = s t s y t = t s t (y los idempotentes viajan al trabajo).

¿Es suficiente la inversa para que un semigrupo sea un grupo?
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