Dudas sobre la notación roster de conjuntos

Los ejemplos simples de conjuntos a menudo se describen a través de la notación de lista (también conocida como notación de enumeración) como$\{0,1,4,9\}$- simplemente escriba los elementos del conjunto entre los dos delimitadores del conjunto (corchetes) y sepárelos con comas.

En la teoría axiomática de conjuntos, esta notación también ocurre en el Axioma de emparejamiento:

Para cualquier$a$y$b$existe un conjunto$\{a, b\}$que contiene exactamente$a$y$b$.

Entonces es fácil ver que$\{a, b\} = \{b, a\}$. De manera más general, se puede leer que el ordenamiento y la enumeración múltiple de los elementos en la notación de lista es irrelevante, por ejemplo, tenemos$\{0,1,2\} = \{1,0,2,1,0\}$.

En la teoría axiomática de conjuntos, el concepto de par ordenado$(a,b)$no se introduce por un axioma separado, pero de alguna manera se define en base a los axiomas existentes, por ejemplo por$(a,b) = \{\{a\},\{a,b\}\}$. De manera más general, el concepto de una tupla ordenada$(a_1,\ldots,a_n)$se puede presentar de esa manera.

Aquí van mis dudas:

Me parece que la notación de lista se basa en un concepto intuitivamente preexistente de una tupla ordenada . Escribir elementos secuencialmente de izquierda a derecha en realidad no produce un conjunto, sino una tupla. Entonces tenemos una cierta relación de equivalencia para tales tuplas que nos dice cuándo considerar dos tuplas como el "mismo conjunto". Pero la teoría de conjuntos no debería basarse en un requisito previo tan intuitivo. De hecho, incluso el axioma del apareamiento se basa en un concepto intuitivo de par. La reintroducción posterior de este concepto a través de una definición parece ser circular.

Uno podría argumentar que$\{a,b\}$es corto para$\{x : x = a \vee x = b\}$. Pero incluso en esta notación tenemos un par de condiciones, separadas por un$\vee$en lugar de una coma. Sí,$x = a \vee x = b$y$x = b \vee x = a$son equivalentes, pero solo para afirmar este hecho se requiere una comprensión intuitiva del "ordenamiento" que la teoría axiomática de conjuntos afirma ser reducible a conceptos más elementales.

En otras palabras: comenzamos con un concepto intuitivo de pares o tuplas como ingredientes de los axiomas y luego reintroducimos "limpiamente" estos conceptos usando los axiomas basados ​​en el mismo concepto (pero previamente impuro).

Mi pregunta:

Por lo general, la notación de lista ocurre al comienzo de los textos sobre teoría de conjuntos. Pero involucra ingredientes que no están realmente disponibles en un sentido preciso en ese momento:

1. Secuencias finitas de elementos, es decir, tuplas ordenadas

2. Permutaciones de tuplas ordenadas

3. Un proceso de reducción eliminando duplicados en tuplas

Se puede argumentar que al principio una comprensión intuitiva de estos ingredientes es suficiente para hacerse una idea de lo que significa la notación de lista. El significado preciso quedará claro después de haber introducido los ingredientes necesarios a través de un enfoque axiomático.

Pero el axioma de emparejamiento implica la notación de lista antes de que los ingredientes anteriores se hayan definido correctamente. ¿Es esto un círculo vicioso? ¿Necesitamos un nuevo enfoque axiomático que evite este problema? Más precisamente, ¿necesitamos un concepto axiomático adicional de un par ordenado?