¿Cuántas permutaciones casi perfectas hay?

una permutación$\left(a_1, a_2, a_3, \cdots , a_n\right)$de los numeros$(1, 2, 3, \cdots , n)$se llama casi perfecto si existe exactamente uno$i \in \{1, 2, 3, \cdots , n-1\}$tal que$a_i > a_{i+1}$. ¿Cuál es el número de permutaciones casi perfectas de los números$(1, 2, 3, ... , 11)$?

El problema es de un concurso simulado. Aquí está mi intento de resolver el problema:

Empecé tomando pequeños valores de$i$y busqué un patrón. Aquí$i$es un número para el cual$a_i>a_{i+1}$. Para$i=1$, los dos primeros números serán de la forma$(k,1)$dónde$k\in \{2,3,\dots,n\}$. De lo contrario, habrá más de un par.$(a_i,a_{i+1})$para cual$a_i>a_{i+1}$. Entonces tenemos$n-1$tales permutaciones en este caso.
Para$i=2$, los primeros tres números serán de la forma$(1,k,2)$o de la forma$(2,k,1)$dónde$k\in \{3,4,\dots,n\}$. Entonces tenemos$2(n-2)$ permutaciones casi perfectas en este caso.
Para$i=3$, los primeros cuatro números serán de la forma$(1,2,k,3)$o$(1,3,k,2)$o$(2,3,k,1)$dónde$k\in\{4,5,\dots,n\}$. Entonces tenemos$3(n-3)$ permutaciones casi perfectas en este caso.
Por lo tanto, afirmo que hay$i(n-i)$ permutaciones casi perfectas para cada$i$. Así, por$n=11$tenemos un total de$1(11-1)+2(11-2)+\dots+10(11-10)=220$ permutaciones casi perfectas .

No estoy seguro de si la solución anterior es correcta o no. Pero creo que esta no es la mejor manera de resolver el problema. Entonces, estoy buscando una mejor solución.