prueba combinatoria de identidad que involucra multiconjuntos

Tengo$k$cajas y$n$pelotas. Para algunos$j$con$0\le j\le\lfloor n/2\rfloor$yo distribuyo$j$bolas entre las cajas, y luego doblo el número de bolas en cada caja; Puedo hacer esto en$\binom{j+k-1}{k-1}$maneras. en ese momento tengo$n-2j$balones a la izquierda, y yo recojo$n-2j$cajas y coloque una de las bolas restantes en cada una de estas cajas; Puedo hacer esto en$\binom{k}{n-2j}$maneras. Afirmo que cada uno de los$\binom{n+k-1}{k-1}$distribuciones de los$n$pelotas entre los$k$Las cajas se pueden obtener exactamente de una manera a través de este procedimiento.

Específicamente, tome cualquier distribución de la$n$bolas a la$k$cajas Dejar$A$sea ​​el conjunto de cajas que contiene un número impar de bolas. Si quitamos una bola de cada una de estas cajas,$n-|A|$las bolas siguen siendo las$k$cajas en total, y el número restante es par, digamos$2k$para algunos$k$, donde claramente$0\le k\le\lfloor n/2\rfloor$. De este modo,$|A|=n-2k$, y esta distribución particular se cuenta una vez en el término$j=k$. En general, el término$\binom{k}{n-2j}\binom{j+k-1}{k-1}$cuenta las distribuciones que tienen$n-2j$cajas que contienen un número impar de bolas.