Una pregunta sobre un caso especial del principio de inclusión-exclusión

$a_3$es simplemente la suma de todas las probabilidades de las intersecciones de tres eventos distintos seleccionados de la secuencia, dividida por el conteo de los$\tbinom n 3$formas de seleccionarlos. Esa es la media aritmética.

$$a_3 =\dfrac{\sum\limits_{1\leqslant i<j<k\leqslant n}\mathsf P(A_i\cap A_j\cap A_k)}{\dbinom{n}{3}}$$

Y así sucesivamente para todos$a_i$dónde$i\in\{1,.., n\}$.

---

Lo que tienes no es un caso especial . Es el principio de inclusión y exclusión. Es solo que normalmente no se te dan las medias aritméticas como tales.

$$\begin{align}\mathsf P\left(\bigcup_{i=1}^{n}A_i\right) & =\sum_{i=1}^{n} (-1)^{i-1}\binom{n}{i}a_i \\ & = \sum_{i=1}^n (-1)^{i-1} \sum_{1\leqslant k_1<\ldots< k_i\leqslant n} \mathsf P\left(\bigcap_{j\in\{k_1,\ldots,k_i\}}A_j\right) \end{align}$$

¿Cuál sería un caso especial si las probabilidades de cualquier selección de cualquier$i$eventos distintos en la secuencia debían ser todos iguales a$a_i$. Es decir, las intersecciones de tres eventos eran todas del mismo tamaño, independientemente de los tres seleccionados; etcétera.