El cuadrado abierto (0,1)×(0,1)(0,1)×(0,1)(0,1) \times (0,1) invectivamente mapeado *en* el intervalo (0,1)( 0,1)(0,1)

¿Funciona la siguiente biyección?

Toma cualquier punto ( X , y ) ∈ ( 0 , 1 ) × ( 0 , 1 ) . Cada número real r ∈ ( 0 , 1 ) puede representarse mediante una expansión decimal infinitamente larga (0,235, por ejemplo, es lo mismo que 0,234999999...). Toma los números reales X , y ∈ R y entrelazar sus expansiones decimales para producir un número real único r ′ ∈ ( 0 , 1 ) . El número r ′ siendo único, el mapeo es 1-1. Dado un número real r ′ ∈ ( 0 , 1 ) , uno puede desatar la expansión decimal de ese número de acuerdo con el patrón establecido por el mapeo y producir los números reales X y y , y por lo tanto llegar a un único punto ( X , y ) ∈ ( 0 , 1 ) × ( 0 , 1 ) .

¿Existe una biyección?

No exactamente. Pero si C es el conjunto de Cantor de tercios medios, puede hacer algo como esto para dar una biyección entre C 2 y C .

Respuestas (2)

tienes una inyeccion ( 0 , 1 ) 2 → ( 0 , 1 ) -- pero no es sobreyectiva , porque no hay nada que corresponda, por ejemplo,

1 99 = 0.0101010101010 …

Desentrelazar los dígitos de esto produciría ⟨ 0 , 1 9 ⟩ , pero eso no está en ( 0 , 1 ) 2 .

Sin embargo, una inyección es realmente todo lo que necesita, porque es fácil encontrar una inyección en la otra dirección, y luego el teorema de Schröder-Bernstein hace el trabajo de unirlos en una sola biyección por usted.

¡Gracias por detectar mi error!
De hecho, el mapa ni siquiera está bien definido.
@NoahSchweber: Creo que la especificación del OP de "una expansión decimal infinitamente larga" pretendía decir que cuando tienes una opción, eliges la representación que termina en nueves infinitos en lugar de la que termina en ceros infinitos.
Ah, no lo leí de esa manera. @RafaelVergnaud ¿Era eso lo que pretendías? Si es así, eliminaré mi respuesta.
Hola Noé. ¡No vi tu comentario antes! Perdón por la respuesta posterior ¡Nueves infinitos!
Además, ¿podrías comprobar mi nueva biyección? El libro (Abbott) en realidad pidió un mapeo que sea inyectivo (no es necesario que sea sobreyectivo). Sin embargo, todavía encuentro interesante el problema de la biyección. ¿Es posible? ¿Funciona mi ejemplo? Gracias :)
@RafaelVergnaud: El mejor truco que he visto para obtener una biyección es decir que, en lugar de entrelazar dígitos , estamos entrelazando bloques de dígitos donde cada bloque consta de un dígito distinto de cero posiblemente precedido por cero o más ceros. Esto da una biyección real F : ( 0 , 1 ] × ( 0 , 1 ] → ( 0 , 1 ] . Si desea intervalos abiertos, entonces deberá participar en algunos arreglos, o tal vez simplemente conocer una biyección. h : ( 0 , 1 ) → ( 0 , 1 ] y luego tomar ( X , y ) ↦ h − 1 ( F ( h ( X ) , h ( y ) ) .

No exactamente. La correspondencia entre infinitos decimales y elementos de ( 0 , 1 ) no es en sí misma una biyección porque algunos números tienen más de una expansión decimal.

Lo resuelves restringiendo la expansión con una cantidad infinita de dígitos distintos de cero, bien. Pero ahora el mapeo de ( 0 , 1 ) 2 a ( 0 , 1 ) no es sobreyectiva. por ejemplo no hay X y y que dan r ′ = 0.1101010101... . Porque eso requeriría X = 0.10000... y y = 0.111... . Pero X = 0.1000... = 0.09999... , entonces la imagen de eso ( X , y ) es en realidad 0.0191919... ≠ 0.11010101... .

hola david ¡Gracias por tu respuesta! Hice dos correcciones: una, el libro solo requería que el mapeo fuera inyectivo. Además, traté de proporcionar un ejemplo de una biyección en la parte inferior de la publicación. ¿Te importaría echarle un vistazo? ¡Tiene dos o tres oraciones! ¡Gracias!
Ese mapa definido por esas últimas oraciones obviamente no es inyectivo. Si el problema es mostrar que hay una biyección de ( 0 , 1 ) 2 sobre ( 0 , 1 ) Creo que lo más fácil es esto: decir C es el conjunto de Cantor. Demostrar que existe una biyección de [ 0 , 1 ] sobre C , y use un entrelazado de dígitos ternario para dar una biyección entre C 2 y C .
El cuadrado abierto (0,1)×(0,1)(0,1)×(0,1)(0,1) \times (0,1) invectivamente mapeado *en* el intervalo (0,1)( 0,1)(0,1)
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